Verifique, em cada um dos casos, se conjunto S é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Justifique sua resposta (faça cálculos somente quando for realmente necessário!)
S=\left\{x, x^{2}, \mathrm{e}^{x}\right\} em \mathscr{F}(\mathbb{R}).

Passo 1

O conjunto S=\{x,\,x^{2},\,e^{x}\} está no espaço vetorial das funções reais \mathscr{F}(\mathbb{R}). Vamos usar a definição de independência linear: mostrar que a única combinação linear que dá a função zero é a trivial.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que, para todo x\in\mathbb{R},
\alpha\,x \;+\;\beta\,x^{2}\;+\;\gamma\,e^{x}\;=\;0.

Passo 3

Avalie a identidade em x=0:
\alpha\cdot 0 \;+\;\beta\cdot 0^{2}\;+\;\gamma\,e^{0}\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma=0.
Assim a combinação reduz-se a
\alpha\,x + \beta\,x^{2} = 0 \quad\forall x\in\mathbb{R}.

Passo 4

A função \alpha\,x+\beta\,x^{2} é um polinômio que se anula para todo x, logo seus coeficientes são zero: \alpha=0 e \beta=0. Portanto só há a combinação trivial.

Resposta

S é linearmente independente.

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