Verifique, em cada um dos casos, se conjunto S é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Justifique sua resposta (faça cálculos somente quando for realmente necessário!)
S=\{(1,-2,1,0),(2,1,-1,3),(7,-4,1,3)\} em \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
S = \{(1,-2,1,0),\;(2,1,-1,3),\;(7,-4,1,3)\}
é linearmente independente ou dependente em \mathbb{R}^4. Para isso vamos usar a definição: S é linearmente independente se a única solução do sistema
a\,(1,-2,1,0)+b\,(2,1,-1,3)+c\,(7,-4,1,3) = (0,0,0,0)
for a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo cada coordenada da combinação igual a zero, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2b + 7c = 0,\\\\ -2a + b - 4c = 0,\\\ a - b + c = 0,\\\\ 0a + 3b + 3c = 0. \end{cases}

Passo 3

Da quarta equação
3b + 3c = 0
segue b = -c. Substituindo em a - b + c = 0 (terceira equação) dá
a - (-c) + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad a + 2c = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -2c.

Passo 4

Agora usamos a primeira equação
a + 2b + 7c = (-2c) + 2(-c) + 7c = (-2 -2 +7)c = 3c = 0,
logo c=0. Consequentemente b=-c=0 e a=-2c=0.

Passo 5

Para garantir consistência, podemos verificar a segunda equação:
-2a + b - 4c = -2(0) + 0 - 4(0) = 0,
que está satisfeita. Portanto a única solução é a trivial a=b=c=0.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente em \mathbb{R}^4.

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