Verifique, em cada um dos casos, se conjunto S é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Justifique sua resposta (faça cálculos somente quando for realmente necessário!)
S=\left\{(1,3,2,5,7),\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)\right\} em \mathbb{R}^{5}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S=\{v_1,v_2\}\subset\mathbb{R}^5, \quad v_1=(1,3,2,5,7), \quad v_2=\Bigl(\tfrac12,\tfrac32,0,\tfrac52,\tfrac72\Bigr)
é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
Para dois vetores em \mathbb{R}^n, eles são L.D. se, e somente se, um for múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Suponha que exista \lambda\in\mathbb{R} tal que
v_2 = \lambda\,v_1.
Então, comparando componente a componente, teríamos:
1ª componente:
\tfrac12 = \lambda\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \tfrac12.
2ª componente:
\tfrac32 = \lambda\cdot 3 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac32 = 3\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \tfrac12,
coerente com o valor obtido acima.

Passo 3

3ª componente:
0 = \lambda\cdot 2 \quad\Longrightarrow\quad 0 = 2\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 0.
Aqui já dá contradição com \lambda=\tfrac12. Não existe um único \lambda que satisfaça todas as componentes. Portanto, não há dependência escalar entre v_1 e v_2.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente.

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