Verifique se cada EDO dada abaixo pode ser colocada na forma geral de uma equação linear de ordem n para uma escolha adequada de n. Em caso afirmativo, expresse os coeficientes a0, a1, a2, ..., an, e g(t). Em cada caso, diga se a EDO é linear, não linear, homogênea ou nao homogênea.
(1+y^2) y'' + t y' + y = e^t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e precisamos verificar se ela pode ser escrita na forma geral de uma equação linear de alguma ordem n. Se for possível, devemos identificar os coeficientes e a função g(t). Além disso, precisamos dizer se a EDO é linear ou não linear, homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é uma equação diferencial linear de ordem n. Ela tem a seguinte forma:
Nesta forma, os coeficientes são funções que dependem apenas de t e não de y ou de suas derivadas. Isso garante que a equação é linear em relação a y e suas derivadas.

Passo 3

Agora, vamos analisar a EDO que nos foi dada:
Observamos que o coeficiente de é . Esse coeficiente depende de y, o que viola a condição de linearidade. Em uma EDO linear, os coeficientes devem depender apenas de t, não de y.

Passo 4

Como o coeficiente de depende de y, a equação é não linear. Portanto, não é possível escrevê-la na forma geral de uma equação linear de nenhuma ordem n. Além disso, a presença do termo torna a EDO não homogênea.

Resposta

A EDO é não linear e não homogênea, não podendo ser colocada na forma geral de uma equação linear de nenhuma ordem.

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