Verifique se cada EDO dada abaixo pode ser colocada na forma geral de uma equação linear de ordem
para uma escolha adequada de
. Em caso afirmativo, expresse os coeficientes
, e
. Em cada caso, diga se a EDO é linear, não linear, homogênea ou nao homogênea.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e precisamos verificar se ela pode ser escrita na forma geral de uma equação linear de alguma ordem
. Se for possível, devemos identificar os coeficientes
e a função
. Além disso, precisamos dizer se a EDO é linear ou não linear, homogênea ou não homogênea. Para isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é uma equação diferencial linear de ordem
. Ela tem a seguinte forma:
Nesta forma, os coeficientes
são funções que dependem apenas de
e não de
ou de suas derivadas. Isso garante que a equação é linear em relação a
e suas derivadas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a EDO que nos foi dada:
Observamos que o coeficiente de
é
. Esse coeficiente depende de
, o que viola a condição de linearidade. Em uma EDO linear, os coeficientes devem depender apenas de
, não de
.
Passo 4
Como o coeficiente de
depende de
, a equação é não linear. Portanto, não é possível escrevê-la na forma geral de uma equação linear de nenhuma ordem
. Além disso, a presença do termo
torna a EDO não homogênea.
Resposta
A EDO é não linear e não homogênea, não podendo ser colocada na forma geral de uma equação linear de nenhuma ordem.