Aplique o Teorema de Existência e Unicidade e determine se o PVI dado tem única solução. Determine o intervalo de existencia da solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade em um Problema de Valor Inicial (PVI), que é uma equação diferencial com uma condição inicial. Aqui, a equação é
com a condição inicial
. Para resolvermos isso, vamos precisar entender os requisitos do teorema e verificar se eles são atendidos nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz que, para uma equação diferencial da forma
com condição inicial
, existe uma única solução em um intervalo ao redor de
se a função
for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em relação a
nesse intervalo.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade da função
. A função
é contínua para todo
real. Então, a primeira condição do teorema está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz. Uma função satisfaz a condição de Lipschitz em relação a
se existe uma constante
tal que
para todos
e
no intervalo considerado.
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Observamos que quando
se aproxima de zero,
tende ao infinito. Isso significa que a função não é Lipschitz contínua em
.
Passo 5
Como a condição de Lipschitz não é satisfeita no ponto
, o Teorema de Existência e Unicidade não garante que haja uma solução única para o PVI dado. Ou seja, pode haver múltiplas soluções que satisfazem a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 6
Vamos então determinar o intervalo de existência da solução. Mesmo sem a unicidade, podemos encontrar soluções que existem em certos intervalos de tempo.
Uma solução óbvia é
para todo
, que satisfaz a equação
e a condição inicial
.
Outra solução pode ser construída considerando que, para
:
Essa função também satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Portanto, as soluções existem em diferentes intervalos, dependendo de como são definidas.
Resposta
O PVI
com
não possui uma solução única, e as soluções existem em intervalos que podem variar conforme a função escolhida.