Aplique o Teorema de Existência e Unicidade e determine se o PVI dado tem única solução. Determine o intervalo de existencia da solução.
dx/dt = x^(1/3) y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade em um Problema de Valor Inicial (PVI), que é uma equação diferencial com uma condição inicial. Aqui, a equação é com a condição inicial . Para resolvermos isso, vamos precisar entender os requisitos do teorema e verificar se eles são atendidos nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz que, para uma equação diferencial da forma com condição inicial , existe uma única solução em um intervalo ao redor de se a função for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em relação a nesse intervalo.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função . A função é contínua para todo real. Então, a primeira condição do teorema está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz. Uma função satisfaz a condição de Lipschitz em relação a se existe uma constante tal que para todos e no intervalo considerado.
Vamos calcular a derivada de em relação a :
Observamos que quando se aproxima de zero, tende ao infinito. Isso significa que a função não é Lipschitz contínua em .

Passo 5

Como a condição de Lipschitz não é satisfeita no ponto , o Teorema de Existência e Unicidade não garante que haja uma solução única para o PVI dado. Ou seja, pode haver múltiplas soluções que satisfazem a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 6

Vamos então determinar o intervalo de existência da solução. Mesmo sem a unicidade, podemos encontrar soluções que existem em certos intervalos de tempo.
Uma solução óbvia é para todo , que satisfaz a equação e a condição inicial .
Outra solução pode ser construída considerando que, para :
Essa função também satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Portanto, as soluções existem em diferentes intervalos, dependendo de como são definidas.

Resposta

O PVI com não possui uma solução única, e as soluções existem em intervalos que podem variar conforme a função escolhida.

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