Resolva:
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
com a condição inicial
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação exata, que é
. No nosso caso:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, nossa equação é realmente exata!
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
Isso simplifica para:
Integrando novamente, temos:
Portanto, a função
é:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Então, a equação geral fica:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada por: