Resolva:
(2 x - y) + (2 y - x) dy/dx = 0, y(1) = 3.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo:

com a condição inicial . Isso significa que queremos encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e passa pelo ponto . Para resolver, vamos usar o conceito de equações exatas, que nos ajuda a encontrar uma função que se ajusta perfeitamente à equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação exata, que é . No nosso caso:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x:
Como , nossa equação é realmente exata!

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
Vamos integrar M(x, y) em relação a x para encontrar F(x, y):

Aqui, é uma função que depende só de y. Para descobrir , derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y):
Isso simplifica para:

Integrando novamente, temos:
Portanto, a função F(x, y) é:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de C:

Então, a equação geral fica:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

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