Verifique que cada equação abaixo é verdadeira calculando a derivada da primitiva.
\int x e^{2 x} d x=\frac{1}{4}(2 x-1) e^{2 x}+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a primitiva
F(x)=\frac{1}{4}(2x-1)e^{2x}+C
é de fato uma antiderivada de f(x)=x e^{2x}. Para isso, vamos calcular F'(x) e mostrar que
F'(x)=x e^{2x}.

Passo 2

Escrevendo a derivada de F(x) e extraindo o fator constante \tfrac14, temos
F'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac14(2x-1)e^{2x}\Bigr] =\frac{1}{4}\,\frac{d}{dx}\bigl[(2x-1)e^{2x}\bigr].

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em \bigl[(2x-1)\cdot e^{2x}\bigr]:
\frac{d}{dx}\bigl[(2x-1)e^{2x}\bigr] =(2x-1)\,\frac{d}{dx}(e^{2x})+e^{2x}\,\frac{d}{dx}(2x-1).

Passo 4

Calculando cada derivada interna:
\frac{d}{dx}(e^{2x})=2e^{2x}, \quad \frac{d}{dx}(2x-1)=2.
Substituindo na expressão do produto,
\frac{d}{dx}\bigl[(2x-1)e^{2x}\bigr] =(2x-1)\cdot2e^{2x}+e^{2x}\cdot2 =2e^{2x}\bigl((2x-1)+1\bigr) =2e^{2x}\,(2x) =4x\,e^{2x}.

Passo 5

Voltando a F'(x) com o fator \tfrac14:
F'(x) =\frac{1}{4}\bigl(4x\,e^{2x}\bigr) =x\,e^{2x}.
Isso mostra que a derivada de F(x) é exatamente o integrando.

Resposta

A derivada de \tfrac{1}{4}(2x-1)e^{2x} é x e^{2x}, logo
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{4}(2x-1)e^{2x}+C\Bigr] =x e^{2x},
verificando que a igualdade dada está correta.

Exercícios relacionados