Calcule cada integral indefinida abaixo.
\int \frac{x^{4}-6 x^{3}+1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x^{4}-6x^{3}+1}{x^{2}}\,dx.
Aqui o conteúdo é integração de função racional simples. Vamos primeiro simplificar o integrando dividindo cada termo por x^{2} e depois aplicar a regra de potência \displaystyle \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Dividindo termo a termo por x^{2} temos
\frac{x^{4}-6x^{3}+1}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} - 6\frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = x^{2} - 6x + x^{-2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência em cada parcela:
\int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int (-6x)\,dx = -6\cdot\frac{x^{2}}{2} = -3x^{2},\qquad \int x^{-2}dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Somando tudo mais a constante de integração C, obtemos a antiderivada.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} \;-\; 3x^{2} \;-\;\frac{1}{x} \;+\; C

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