Calcule cada integral indefinida abaixo.
\int x \sqrt{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\sqrt{2x}\,dx.
Aqui vamos usar as propriedades de potências (transformar raiz em expoente fracionário) e a regra de integração de potências.

Passo 2

Transformamos o integrando em potências. Primeiro extraímos a constante 2 dentro da raiz:
x\sqrt{2x} = x\,(2x)^{1/2} = 2^{1/2}\,x^{1+1/2} = 2^{1/2}\,x^{3/2}.

Passo 3

Aplicamos a regra de integração de potências, isto é, \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1). Assim,
\int x\sqrt{2x}\,dx = \int 2^{1/2}\,x^{3/2}\,dx = 2^{1/2}\,\int x^{3/2}\,dx = 2^{1/2}\,\frac{x^{5/2}}{5/2} + C.

Passo 4

Basta simplificar o coeficiente:
2^{1/2}\,\frac{1}{5/2} = 2^{1/2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{2\sqrt{2}}{5}.

Resposta

\int x\sqrt{2x}\,dx = \frac{2\sqrt{2}}{5}\,x^{5/2} + C.

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