Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-
(x \ln y+x y) d x+(y \ln x+x y) d y=0 \quad x>0, y>0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
(x \ln y + x y)\,dx + (y \ln x + x y)\,dy = 0,\qquad x>0,\\ y>0
é exata. Se for exata, resolver a equação.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  • Deve-se checar exatidão e, apenas se for exata, encontrar a solução (potencial) \Phi(x,y)=C.

Passo 2

O que significa ser exata e como testar (mini-aula rápida e prática).
  • Uma equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 é exata em uma região se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
  • Uma condição prática necessária (e suficiente em regiões simplesmente conexas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Isto quer dizer: calcule as derivadas parciais \,M_y e \,N_x e compare-as.

Passo 3

Identificar M e N a partir da equação (peguei-os diretamente do enunciado):
M(x,y)=x\ln y + x y,\qquad N(x,y)=y\ln x + x y.

Passo 4

Calcular \,M_y passo a passo (derivada parcial de M em relação a y):
  • Derivada de x\ln y em relação a y: x\cdot\frac{d}{dy}(\ln y)=x\cdot\frac{1}{y}=\dfrac{x}{y}.
  • Derivada de x y em relação a y: x.
    Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=M_y=\frac{x}{y}+x.

Passo 5

Calcular \,N_x passo a passo (derivada parcial de N em relação a x):
  • Derivada de y\ln x em relação a x: y\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=y\cdot\frac{1}{x}=\dfrac{y}{x}.
  • Derivada de x y em relação a x: y.
    Portanto
\frac{\partial N}{\partial x}=N_x=\frac{y}{x}+y.

Passo 6

Comparar M_y e N_x. Escrevendo a diferença:
M_y - N_x=\Big(\frac{x}{y}+x\Big)-\Big(\frac{y}{x}+y\Big) =\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+(x-y).
Essa expressão, em geral, não é zero para todos x>0,y>0. Por exemplo, tomando x=2,\\ y=1
M_y-N_x=\frac{2}{1}-\frac{1}{2}+(2-1)=2-\tfrac12+1=\tfrac{5}{2}\neq0.
Logo \,M_y\neq N_x em geral, ou seja, a equação NÃO é exata.

Passo 7

Comentário sobre fatores integrantes simples (mini-aula curta e motivadora).
  • Muitas vezes, quando a equação não é exata, tenta-se encontrar um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) (função só de x ou só de y) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata.
  • Há testes padrão: por exemplo, se \dfrac{M_y-N_x}{N} depende apenas de x, então existe \mu(x). Se \dfrac{N_x-M_y}{M} depende apenas de y, então existe \mu(y).
  • No caso presente, calcular essas razões dá expressões que dependem de x e y ao mesmo tempo (veja Passo 6 e substitua em \dfrac{M_y-N_x}{N} ou \dfrac{N_x-M_y}{M}); portanto não há fator integrante apenas em x nem apenas em y por esses testes simples.
    Observação: podem existir fatores integrantes mais complicados (função de xy, de x+y, etc.), mas a busca e a verificação deles fogem ao pedido mínimo de “verificar se é exata” e à rotina básica da prova, e geralmente exigem tentativa/insight adicional.

Resposta

A equação não é exata.

Exercícios relacionados