Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata. Se for exata, resolver a equação.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- A equação está na forma
. - Deve-se checar exatidão e, apenas se for exata, encontrar a solução (potencial)
.
Passo 2
O que significa ser exata e como testar (mini-aula rápida e prática).
- Uma equação
é exata em uma região se existe uma função tal que
- Uma condição prática necessária (e suficiente em regiões simplesmente conexas) é
Isto quer dizer: calcule as derivadas parciais
e
e compare-as.
Passo 3
Identificar
e
a partir da equação (peguei-os diretamente do enunciado):
Passo 4
Calcular
passo a passo (derivada parcial de
em relação a
):
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : .
Portanto
Passo 5
Calcular
passo a passo (derivada parcial de
em relação a
):
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : .
Portanto
Passo 6
Comparar
e
. Escrevendo a diferença:
Essa expressão, em geral, não é zero para todos
. Por exemplo, tomando
dá
Logo
em geral, ou seja, a equação NÃO é exata.
Passo 7
Comentário sobre fatores integrantes simples (mini-aula curta e motivadora).
- Muitas vezes, quando a equação não é exata, tenta-se encontrar um fator integrante
ou (função só de ou só de ) tal que seja exata. - Há testes padrão: por exemplo, se
depende apenas de , então existe . Se depende apenas de , então existe . - No caso presente, calcular essas razões dá expressões que dependem de
e ao mesmo tempo (veja Passo 6 e substitua em ou ); portanto não há fator integrante apenas em nem apenas em por esses testes simples.
Observação: podem existir fatores integrantes mais complicados (função de, de , etc.), mas a busca e a verificação deles fogem ao pedido mínimo de “verificar se é exata” e à rotina básica da prova, e geralmente exigem tentativa/insight adicional.
Resposta
A equação não é exata.