Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é exata e, se for, resolvê-la.
Vou listar o que temos de dado (isto é, os elementos relevantes da equação):
Vou listar o que temos de dado (isto é, os elementos relevantes da equação):
- A equação está na forma
. - Assim, tomo
O objetivo é: (i) checar se a equação é exata; (ii) caso seja exata, encontrar a solução geral (a função potencial
tal que
).
Passo 2
Explicando o critério de exatidão (passando a mão na cabeça pra ficar fácil): uma equação diferencial na forma
é exata se, no domínio considerado, existe uma função
com
Uma condição prática e simples para verificar isso é checar se as derivadas mistas coincidem:
Se isso for verdade (e as funções forem bem comportadas), a equação é exata.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais pedidas:
Como
a equação é exata. Boa notícia! Significa que existe
com
e
.
Passo 4
Agora vou encontrar a função potencial
. Começo integrando
em relação a
, lembrando que ao integrar em
aparece uma “constante” que pode depender de
:
onde
é alguma função de
a determinar.
Passo 5
Para achar
, uso a condição
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
. Portanto
Integro em relação a
:
onde
é uma constante. (Note que esta constante pode ser absorvida depois na constante geral da solução implícita.)
Passo 6
Reunindo tudo:
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
onde
é constante. Podemos então escrever a solução final como
com
constante arbitrária. Se quiser isolar
explicitamente, dá para completar quadrados e resolver a quadrática em
, mas normalmente a forma implícita acima é suficiente e mais limpa.