Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-
(2 x+3)+(2 y-2) y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
(2x+3)+(2y-2)\,y'=0
é exata e, se for, resolvê-la.
Vou listar o que temos de dado (isto é, os elementos relevantes da equação):
  • A equação está na forma M(x,y)+N(x,y)\,y'=0.
  • Assim, tomo M(x,y)=2x+3,\qquad N(x,y)=2y-2.
O objetivo é: (i) checar se a equação é exata; (ii) caso seja exata, encontrar a solução geral (a função potencial \varphi(x,y) tal que \varphi(x,y)=\text{constante}).

Passo 2

Explicando o critério de exatidão (passando a mão na cabeça pra ficar fácil): uma equação diferencial na forma
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0
é exata se, no domínio considerado, existe uma função \varphi(x,y) com
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática e simples para verificar isso é checar se as derivadas mistas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso for verdade (e as funções forem bem comportadas), a equação é exata.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais pedidas:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+3)=0,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-2)=0.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=0,
a equação é exata. Boa notícia! Significa que existe \varphi(x,y) com \phi_x=M e \phi_y=N.

Passo 4

Agora vou encontrar a função potencial \varphi(x,y). Começo integrando M em relação a x, lembrando que ao integrar em x aparece uma “constante” que pode depender de y:
\varphi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (2x+3)\,dx = x^2+3x + h(y),
onde h(y) é alguma função de y a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), uso a condição \phi_y=N. Calculo \phi_y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{d}{dy}\bigl(x^2+3x + h(y)\bigr) = h'(y).
Devemos ter h'(y)=N(x,y)=2y-2. Portanto
h'(y)=2y-2.
Integro em relação a y:
h(y)=\int (2y-2)\,dy = y^2-2y + C_1,
onde C_1 é uma constante. (Note que esta constante pode ser absorvida depois na constante geral da solução implícita.)

Passo 6

Reunindo tudo:
\varphi(x,y)=x^2+3x + \bigl(y^2-2y + C_1\bigr)=x^2+3x+y^2-2y + C_1.
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
\varphi(x,y)=C,
onde C é constante. Podemos então escrever a solução final como
x^2+3x+y^2-2y=C,
com C constante arbitrária. Se quiser isolar y explicitamente, dá para completar quadrados e resolver a quadrática em y, mas normalmente a forma implícita acima é suficiente e mais limpa.

Resposta

x^2+3x+y^2-2y=C

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