Verifique se cada função abaixo é contínua em mathbb{R}. Se não for contínua, torne-a contínua em mathbb{R}, se possível. f(x)=\left\{\begin{array}{r}\frac{3 x^{2}-17 x+20}{x-4} \text { , se } x \neq 4 \\\\ 4 \text {, se } x=4\end{array}\right.
Se não for contínua, modificar (quando possível) a definição para torná-la contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão racional \dfrac{3x^{2}-17x+20}{x-4} vale para todos x\neq4.
O valor pontual f(4) está dado como 4.]
Passo 2
Lembrete (definição prática de continuidade num ponto): uma função f é contínua em x_{0} se, e somente se,
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0}).
Isto significa que o limite da expressão quando x se aproxima de x_{0} (pela esquerda e pela direita) existe e é igual ao valor que a função toma exatamente em x_{0}.
Para funções racionais (quociente de polinômios) a parte racional é contínua em todo ponto onde o denominador não é zero. Portanto só precisamos checar continuidade em x=4, porque para x\neq4 a expressão \dfrac{3x^{2}-17x+20}{x-4} já é contínua.
Passo 3
Vamos calcular o limite
\lim_{x\to4}\frac{3x^{2}-17x+20}{x-4}.
Quando o numerador também se anula em x=4, temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e então podemos tentar simplificar fatorando o numerador.
Passo 4
Fatoração do numerador \;3x^{2}-17x+20.
Para fatorar um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c podemos calcular as raízes com a fórmula quadrática. Aqui a=3, b=-17, c=20. O discriminante é
Portanto o limite da expressão quando x\to4 existe e vale 7.
Passo 7
Comparando com o valor pontual dado: f(4)=4. Como
\lim_{x\to4} f(x)=7 \neq f(4)=4,
a função não é contínua em x=4. Essa descontinuidade é do tipo removível, porque o limite existe finito; basta redefinir o valor em x=4 igual ao limite para “fechar o buraco”.
Para tornar f contínua em \mathbb{R}, redefinimos
f(4):=7.
Com essa escolha a função vale 3x-5 (ou a fração simplificada) para x\neq4 e 7 em x=4, e assim passa a ser contínua em todos os reais.
Resposta
A função dada não é contínua em \mathbb{R} (há descontinuidade removível em x=4).
Redefinindo f(4)=7 a função torna-se contínua em \mathbb{R}.