Verifique se cada função abaixo é contínua em mathbb{R}. Se não for contínua, torne-a contínua em mathbb{R}, se possível.
f(x)=\left\{\begin{array}{r}\frac{3 x^{2}-17 x+20}{x-4} \text { , se } x \neq 4 \\\\ 4 \text {, se } x=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{3x^{2}-17x+20}{x-4}, &\text{se }x\neq4,\\[6pt] 4, &\text{se }x=4. \end{cases}
O que é pedido:
  • Verificar se f é contínua em \mathbb{R}.
  • Se não for contínua, modificar (quando possível) a definição para torná-la contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão racional \dfrac{3x^{2}-17x+20}{x-4} vale para todos x\neq4.
  • O valor pontual f(4) está dado como 4.]

Passo 2

Lembrete (definição prática de continuidade num ponto): uma função f é contínua em x_{0} se, e somente se,
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0}).
Isto significa que o limite da expressão quando x se aproxima de x_{0} (pela esquerda e pela direita) existe e é igual ao valor que a função toma exatamente em x_{0}.
Para funções racionais (quociente de polinômios) a parte racional é contínua em todo ponto onde o denominador não é zero. Portanto só precisamos checar continuidade em x=4, porque para x\neq4 a expressão \dfrac{3x^{2}-17x+20}{x-4} já é contínua.

Passo 3

Vamos calcular o limite
\lim_{x\to4}\frac{3x^{2}-17x+20}{x-4}.
Quando o numerador também se anula em x=4, temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e então podemos tentar simplificar fatorando o numerador.

Passo 4

Fatoração do numerador \;3x^{2}-17x+20.
Para fatorar um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c podemos calcular as raízes com a fórmula quadrática. Aqui a=3, b=-17, c=20. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac = (-17)^{2}-4\cdot3\cdot20 = 289-240 = 49.
Como \sqrt{\Delta}=7, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{17\pm7}{6}.
Assim as raízes são
x=\frac{17+7}{6}=\frac{24}{6}=4 \qquad\text{e}\qquad x=\frac{17-7}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.
Logo o polinômio fatora como
3x^{2}-17x+20 = 3(x-4)\left(x-\frac{5}{3}\right).

Passo 5

Substituindo a fatoração na expressão da função para x\neq4,
\frac{3x^{2}-17x+20}{x-4} = \frac{3(x-4)\left(x-\dfrac{5}{3}\right)}{x-4}.
Como estamos considerando x\neq4, podemos cancelar o fator (x-4), obtendo a forma simplificada
\frac{3x^{2}-17x+20}{x-4}=3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5\qquad\text{para }x\neq4.

Passo 6

Agora calculamos o limite usando a forma simplificada (uma função polinomial, contínua):
\lim_{x\to4}\frac{3x^{2}-17x+20}{x-4}=\lim_{x\to4}(3x-5)=3\cdot4-5=12-5=7.
Portanto o limite da expressão quando x\to4 existe e vale 7.

Passo 7

Comparando com o valor pontual dado: f(4)=4. Como
\lim_{x\to4} f(x)=7 \neq f(4)=4,
a função não é contínua em x=4. Essa descontinuidade é do tipo removível, porque o limite existe finito; basta redefinir o valor em x=4 igual ao limite para “fechar o buraco”.
Para tornar f contínua em \mathbb{R}, redefinimos
f(4):=7.
Com essa escolha a função vale 3x-5 (ou a fração simplificada) para x\neq4 e 7 em x=4, e assim passa a ser contínua em todos os reais.

Resposta

A função dada não é contínua em \mathbb{R} (há descontinuidade removível em x=4).
Redefinindo f(4)=7 a função torna-se contínua em \mathbb{R}.

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