Determine o valor de k \in \mathbb{R} para a função dada abaixo seja contínua em \mathbb{R}.
f(x)=\left\{\begin{array}{c} x^{2}, \text { se } x \leq-2 \\\ a x+b, \text { se }-2<x<2 \\\\ 2 x-6, \text { se } x \geq 2 \end{array}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (repare que há uma pequena inconsistência que vou esclarecer aqui sem pedir nada a mais).
A função por partes é
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}, \text{ se } x \leq -2,\\[4pt] a x+b, \text{ se } -2<x<2,\\[4pt] 2x-6, \text{ se } x \geq 2. \end{array}\right.
O enunciado pede: "Determine o valor de k\in\mathbb{R} para a função dada seja contínua em \mathbb{R}". Observação: a peça do meio usa constantes a e b, não aparece k. Vou interpretar que o objetivo é determinar os valores das constantes da peça linear de modo que f seja contínua em \mathbb{R}. Ou seja, encontrar a e b que garantam continuidade em todos os pontos.
Informações relevantes:
As funções x^2, ax+b e 2x-6 são polinômios (logo contínuas) nas suas regiões internas; portanto os possíveis pontos de descontinuidade são apenas as fronteiras onde a definição muda: x=-2 e x=2.
Pergunta(s) a responder:
Quais devem ser os valores de a e b para que f seja contínua em \mathbb{R}? (essa é a interpretação feita do enunciado dado)]
Passo 2
Conceito essencial (aulas rápidas, sem pânico): o que significa dizer que uma função é contínua em \mathbb{R}?
Uma função é contínua em todo ponto se, em cada ponto x_0, vale
\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).
Para funções por partes, como aqui, basta verificar continuidade nos pontos de mudança de definição. Em pontos interiores de cada peça (por exemplo x<-2, -2<x<2, x>2) as peças são polinômios/lineares, portanto já são contínuas ali. Logo precisamos impor as condições de continuidade apenas em x=-2 e em x=2.
Em cada um desses pontos devemos igualar o valor da peça que contém o ponto ao limite vindo do lado oposto (mais diretamente: igualar os valores nas fronteiras das duas peças que se encontram ali).
Passo 3
Condição de continuidade em x=-2.
Pelo enunciado, a definição para x\le -2 é f(x)=x^2. Então o valor da função em x=-2 é
f(-2)=(-2)^2=4.
A peça à direita de -2 (quando x>-2) é f(x)=ax+b. Para que f seja contínua em -2 precisamos que o limite pela direita seja igual ao valor em -2, isto é
\lim_{x\to -2^+} f(x)=a(-2)+b=-2a+b.
Portanto a condição de continuidade em -2 é
-2a+b=4.
Passo 4
Condição de continuidade em x=2.
Pela definição, para x\ge 2 temos f(x)=2x-6. Então o valor da função em x=2 é
f(2)=2\cdot 2-6=4-6=-2.
A peça à esquerda de 2 (quando x<2) é f(x)=ax+b. Para que f seja contínua em 2 precisamos que o limite pela esquerda seja igual ao valor em 2, isto é
\lim_{x\to 2^-} f(x)=a\cdot 2 + b = 2a+b.
Portanto a condição de continuidade em 2 é
2a+b=-2.
Passo 5
Montando o sistema e explicando como resolver.
Juntando as duas equações obtidas temos o sistema linear para a\) e \(b\):
\[\begin{cases} -2a+b=4,\\[4pt] 2a+b=-2. \end{cases}
Método para resolver: aqui é simples eliminar b\] somando/subtraindo as equações. Vou subtrair a primeira equação da segunda para eliminar \(b.
Subtraindo:
(2a+b)-(-2a+b)= -2 - 4.
O lado esquerdo simplifica porque b-b=0 e 2a-(-2a)=4a. O lado direito é -6. Assim obtemos
4a=-6.
Dividindo ambos os lados por 4,
a=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}.
Agora encontramos b substituindo a em uma das equações. Uso 2a+b=-2:
2\left(-\dfrac{3}{2}\right)+b=-2.
Calcule o primeiro termo: 2\cdot(-3/2)=-3. Logo
-3+b=-2.
Somando 3 em ambos os lados,
b=1.]
Passo 6
Verificação final e conclusão didática.
Com a=-\dfrac{3}{2} e b=1 as duas condições de continuidade ficam satisfeitas:
Em x=-2: -2a+b = -2\cdot(-3/2)+1=3+1=4=f(-2).
Em x=2: 2a+b = 2\cdot(-3/2)+1=-3+1=-2=f(2).
Como cada peça é contínua em seu interior (polinômios são contínuos em todo lugar) e as condições de encaixe nas fronteiras estão satisfeitas, a função é contínua em todo \mathbb{R} com esses valores.
Observação final (só para aliviar o estresse): mesmo que o enunciado tenha citado k, as constantes relevantes da peça linear são a e b; portanto a resposta prática que interessa para garantir continuidade é a=-\dfrac{3}{2} e b=1.