Calcule os limites abaixo.
\lim _{h \rightarrow-\frac{1}{2}} \frac{h^{2}+h+4^{-2}}{h+2^{-1}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pegado do enunciado). Pede-se o limite
\lim_{h\to -\tfrac{1}{2}} \frac{h^{2}+h+4^{-2}}{h+2^{-1}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • 4^{-2}=\tfrac{1}{16}.
  • 2^{-1}=\tfrac{1}{2}.
    Portanto a expressão do limite pode ser escrita como
\frac{h^{2}+h+\tfrac{1}{16}}{h+\tfrac{1}{2}}.

Passo 2

Primeiro avalio numerador e denominador no ponto h=-\tfrac{1}{2}, porque isso indica o comportamento da função perto do ponto.
Avaliação do denominador:
h+\tfrac{1}{2}\Big|_{h=-\tfrac{1}{2}} = -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0.
Avaliação do numerador:
h^{2}+h+\tfrac{1}{16}\Big|_{h=-\tfrac{1}{2}} = \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \left(-\tfrac{1}{2}\right) + \tfrac{1}{16}.
Calculo passo a passo:
\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}, \qquad \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{2}{4}=-\tfrac{1}{4},
-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16} = -\tfrac{4}{16}+\tfrac{1}{16} = -\tfrac{3}{16}.
Logo o numerador tende para -\tfrac{3}{16}, que é um número finito e diferente de zero.

Passo 3

Interpretação teórica: quando o numerador tende para uma constante não nula e o denominador tende para 0, o quociente tem magnitude que cresce sem limite (isto é, tende para +\infty ou para -\infty), e o sinal final depende dos sinais à esquerda e à direita do ponto. Então precisamos analisar os sinais dos fatores próximos a h=-\tfrac{1}{2}.
Observação sobre o numerador próximo ao ponto:
  • O numerador é uma função polinomial contínua e sua avaliação no ponto é -\tfrac{3}{16}<0. Portanto, em um pequeno intervalo ao redor de h=-\tfrac{1}{2} (exceto exatamente no ponto), o numerador permanece negativo.
Observação sobre o denominador:
  • Se h<-\tfrac{1}{2} então h+\tfrac{1}{2}<0.
  • Se h>-\tfrac{1}{2} então h+\tfrac{1}{2}>0.

Passo 4

Agora calculo os limites laterais usando o sinal do numerador e do denominador.
Limite pela esquerda ( h\to -\tfrac{1}{2}^{-}):
  • Numerador \to -\tfrac{3}{16} (negativo).
  • Denominador \to 0^{-} (negativo).
  • Quociente: negativo dividido por negativo dá positivo e a magnitude vai para +\infty.
    Portanto
\lim_{h\to -\tfrac{1}{2}^{-}} \frac{h^{2}+h+\tfrac{1}{16}}{h+\tfrac{1}{2}} = +\infty.
Limite pela direita ( h\to -\tfrac{1}{2}^{+}):
  • Numerador \to -\tfrac{3}{16} (negativo).
  • Denominador \to 0^{+} (positivo).
  • Quociente: negativo dividido por positivo dá negativo e a magnitude vai para -\infty.
    Portanto
\lim_{h\to -\tfrac{1}{2}^{+}} \frac{h^{2}+h+\tfrac{1}{16}}{h+\tfrac{1}{2}} = -\infty.

Passo 5

Conclusão final: como os limites laterais não coincidem (um é +\infty e o outro é -\infty), o limite bilateral \lim_{h\to -\tfrac{1}{2}} não existe (diverge). Em linguagem mais direta: há uma descontinuidade infinita no ponto h=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{h\to -\tfrac{1}{2}^{-}} \frac{h^{2}+h+4^{-2}}{h+2^{-1}} = +\infty
\displaystyle \lim_{h\to -\tfrac{1}{2}^{+}} \frac{h^{2}+h+4^{-2}}{h+2^{-1}} = -\infty
\displaystyle \lim_{h\to -\tfrac{1}{2}} \frac{h^{2}+h+4^{-2}}{h+2^{-1}} não existe.

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