Classifique a equação dada quanto ao tipo e à ordem:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial
O que se pede: classificar essa equação quanto ao tipo e quanto à ordem.
Informações explícitas dadas:
Informações explícitas dadas:
- O termo multiplicando
é . - O termo multiplicando
é .
Passo 2
Determinar a ordem da equação.
Definição útil: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada presente na equação. Aqui a equação está em forma diferencial com e
; podemos escrevê-la explicitamente como uma derivada dividindo por
(assumindo
):
Definição útil: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada presente na equação. Aqui a equação está em forma diferencial com
Nesta expressão aparece apenas
, ou seja, a derivada de primeira ordem. Portanto a ordem é
.
Passo 3
Classificar linearidade (linear ou não linear).
Definição: uma equação diferencial de primeira ordem é linear se puder ser colocada na forma
Definição: uma equação diferencial de primeira ordem é linear se puder ser colocada na forma
ou, de modo equivalente, se for linear em
(os coeficientes podem depender de
mas não pode haver potências ou funções não-lineares de
).
Na nossa forma
Na nossa forma
há um termo
, que é quadrático em
. Isso impede escrever a equação na forma linear acima. Logo a equação é não linear.
Passo 4
Testar se é exata (no caso de equação diferencial na forma
).
Condição de exatidão: a equação é exata se num domínio adequado. Calculemos:
Condição de exatidão: a equação é exata se
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 5
Verificar se é separável.
Definição: uma equação é separável se puder ser escrita na forma
Definição: uma equação é separável se puder ser escrita na forma
ou seja, produto de uma função só de
por uma função só de
. A forma que obtivemos é
Isto é soma de dois termos, um que depende de
e
multiplicativamente (
) e outro que depende apenas de
(
). Não é possível escrever a soma inteira como um único produto
. Portanto a equação não é separável.
Passo 6
Testar outras classificações simples (homogeneidade, forma especial).
- Homogênea (no sentido
)? A função à direita não é homogênea em (as potências de e não escalam da mesma forma), logo não é homogênea. - Linear de Bernoulli? A equação de Bernoulli tem forma
. Aqui não há termo proporcional a (o coeficiente de é zero) e há o termo multiplicado por . Isso não se encaixa diretamente na forma usual de Bernoulli (poderia ser manipulada apenas se houvesse um termo linear em ). Portanto não é convenientemente tratada como Bernoulli.
Passo 7
Reconhecer forma de Riccati.
Forma geral da equação de Riccati:
Forma geral da equação de Riccati:
Comparando com
vemos que a equação está na forma de Riccati com
Portanto a equação é um caso de equação de Riccati (que é uma família importante de equações diferenciais não lineares de primeira ordem).
Resposta
Ordem:
.
Tipo: equação diferencial ordinária de primeira ordem não linear.
Outras propriedades: não é exata; não é separável; não é homogênea.
Forma especializada: pertence à classe das equações de Riccati, com ,
,
.
Tipo: equação diferencial ordinária de primeira ordem não linear.
Outras propriedades: não é exata; não é separável; não é homogênea.
Forma especializada: pertence à classe das equações de Riccati, com