Classifique a equação dada quanto ao tipo e à ordem:
\left(2 x-y^{2}\right) d x+e^{x} d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial
(2x-y^{2})\,dx + e^{x}\,dy = 0.
O que se pede: classificar essa equação quanto ao tipo e quanto à ordem.
Informações explícitas dadas:
  • O termo multiplicando dx é M(x,y)=2x-y^{2}.
  • O termo multiplicando dy é N(x,y)=e^{x}.

Passo 2

Determinar a ordem da equação.
Definição útil: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada presente na equação. Aqui a equação está em forma diferencial com dx e dy; podemos escrevê-la explicitamente como uma derivada dividindo por dx (assumindo dx\neq0):
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x-y^{2}}{e^{x}} = \frac{y^{2}-2x}{e^{x}}.
Nesta expressão aparece apenas \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de primeira ordem. Portanto a ordem é 1.

Passo 3

Classificar linearidade (linear ou não linear).
Definição: uma equação diferencial de primeira ordem é linear se puder ser colocada na forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
ou, de modo equivalente, se for linear em y (os coeficientes podem depender de x mas não pode haver potências ou funções não-lineares de y).
Na nossa forma
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-2x}{e^{x}} = e^{-x}y^{2} - 2x e^{-x},
há um termo e^{-x}y^{2}, que é quadrático em y. Isso impede escrever a equação na forma linear acima. Logo a equação é não linear.

Passo 4

Testar se é exata (no caso de equação diferencial na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0).
Condição de exatidão: a equação é exata se \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} num domínio adequado. Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y^{2})=-2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x})=e^{x}.
Como -2y \neq e^{x} em geral, a equação não é exata.

Passo 5

Verificar se é separável.
Definição: uma equação é separável se puder ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y),
ou seja, produto de uma função só de x por uma função só de y. A forma que obtivemos é
\frac{dy}{dx}=e^{-x}y^{2}-2x e^{-x}.
Isto é soma de dois termos, um que depende de y e x multiplicativamente ( e^{-x}y^{2}) e outro que depende apenas de x ( -2x e^{-x}). Não é possível escrever a soma inteira como um único produto f(x)g(y). Portanto a equação não é separável.

Passo 6

Testar outras classificações simples (homogeneidade, forma especial).
  • Homogênea (no sentido f(tx,ty)=f(x,y))? A função à direita \dfrac{y^{2}-2x}{e^{x}} não é homogênea em (x,y) (as potências de x e y não escalam da mesma forma), logo não é homogênea.
  • Linear de Bernoulli? A equação de Bernoulli tem forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}. Aqui não há termo proporcional a y (o coeficiente de y é zero) e há o termo y^{2} multiplicado por e^{-x}. Isso não se encaixa diretamente na forma usual de Bernoulli (poderia ser manipulada apenas se houvesse um termo linear em y). Portanto não é convenientemente tratada como Bernoulli.

Passo 7

Reconhecer forma de Riccati.
Forma geral da equação de Riccati:
\frac{dy}{dx}=a(x)\,y^{2}+b(x)\,y+c(x).
Comparando com
\frac{dy}{dx}=e^{-x}y^{2}+0\cdot y-2x e^{-x},
vemos que a equação está na forma de Riccati com
a(x)=e^{-x},\qquad b(x)=0,\qquad c(x)=-2x e^{-x}.
Portanto a equação é um caso de equação de Riccati (que é uma família importante de equações diferenciais não lineares de primeira ordem).

Resposta

Ordem: 1.
Tipo: equação diferencial ordinária de primeira ordem não linear.
Outras propriedades: não é exata; não é separável; não é homogênea.
Forma especializada: pertence à classe das equações de Riccati, com a(x)=e^{-x}, b(x)=0, c(x)=-2x e^{-x}.

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