Classifique a equação dada quanto ao tipo e à ordem:
u_{x x}+u_{y y}=u

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
u_{x x}+u_{y y}=u
e pede duas classificações: (i) a ordem da equação; (ii) o tipo (elíptica, parabólica ou hiperbólica). As informações que temos são exatamente os termos presentes na equação: aparecem derivadas de segunda ordem em x e y e um termo proporcional a u.

Passo 2

O que é a ordem de uma equação diferencial parcial? A ordem é o maior número de derivações parciais que aparecem na equação. Aqui aparecem u_{x x} e u_{y y}, que são derivadas de segunda ordem. Não há derivadas de ordem maior que 2. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 2.

Passo 3

O que significa ser uma equação linear e homogênea? Uma equação linear em u é aquela em que todos os termos envolvendo u e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções (ou constantes) e somados — nunca aparecem produtos não lineares entre u e suas derivadas nem potências não lineares de u. Se podemos escrever a equação na forma L[u]=0 (ou com RHS nulo) dizemos que é homogênea.
Escrevendo a equação dada de maneira padrão:
u_{x x}+u_{y y}-u=0,
vê‑se que os termos são lineares em u e suas derivadas e que o lado direito é zero. Logo a equação é linear e homogênea (além de ter coeficientes constantes).

Passo 4

Como se classifica o tipo de uma equação de segunda ordem em duas variáveis? Considere a forma geral
A\,u_{x x}+2B\,u_{x y}+C\,u_{y y}+\text{(termos de ordem inferior)}=0.
Define‑se o discriminante
D = B^{2}-A C.
A classificação é dada por:
  • se D<0 então a equação é elíptica;
  • se D=0 então é parabólica;
  • se D>0 então é hiperbólica.
Essa regra vem da análise das características da equação e é o procedimento padrão para PDEs de segunda ordem em duas variáveis.

Passo 5

Agora aplicamos à nossa equação. Comparando com a forma geral, os coeficientes das derivadas de segunda ordem são
A=1,\qquad 2B=0\Rightarrow B=0,\qquad C=1.
Calculamos o discriminante:
D = B^{2}-A C = 0^{2}-1\cdot 1 = -1.
Como D=-1<0, a equação é do tipo elíptico.

Passo 6

Interpretação rápida e exemplos para fixar:
  • Equações elípticas (como \Delta u=0, a equação de Laplace) descrevem normalmente problemas de contorno e têm comportamento de suavização das soluções.
  • A equação dada é muito parecida com a equação de Helmholtz/Poisson, aqui escrita como \Delta u - u=0, e é um exemplo típico de PDE elíptica com coeficientes constantes.

Resposta

Tipo: elíptica.
Ordem: 2.

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