Classifique a equação dada quanto ao tipo e à ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
e pede duas classificações: (i) a ordem da equação; (ii) o tipo (elíptica, parabólica ou hiperbólica). As informações que temos são exatamente os termos presentes na equação: aparecem derivadas de segunda ordem em
e
e um termo proporcional a
.
Passo 2
O que é a ordem de uma equação diferencial parcial? A ordem é o maior número de derivações parciais que aparecem na equação. Aqui aparecem
e
, que são derivadas de segunda ordem. Não há derivadas de ordem maior que 2. Portanto a ordem é
Passo 3
O que significa ser uma equação linear e homogênea? Uma equação linear em
é aquela em que todos os termos envolvendo
e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções (ou constantes) e somados — nunca aparecem produtos não lineares entre
e suas derivadas nem potências não lineares de
. Se podemos escrever a equação na forma
(ou com RHS nulo) dizemos que é homogênea.
Escrevendo a equação dada de maneira padrão:
vê‑se que os termos são lineares em
e suas derivadas e que o lado direito é zero. Logo a equação é linear e homogênea (além de ter coeficientes constantes).
Passo 4
Como se classifica o tipo de uma equação de segunda ordem em duas variáveis? Considere a forma geral
Define‑se o discriminante
A classificação é dada por:
- se
então a equação é elíptica; - se
então é parabólica; - se
então é hiperbólica.
Essa regra vem da análise das características da equação e é o procedimento padrão para PDEs de segunda ordem em duas variáveis.
Passo 5
Agora aplicamos à nossa equação. Comparando com a forma geral, os coeficientes das derivadas de segunda ordem são
Calculamos o discriminante:
Como
, a equação é do tipo elíptico.
Passo 6
Interpretação rápida e exemplos para fixar:
- Equações elípticas (como
, a equação de Laplace) descrevem normalmente problemas de contorno e têm comportamento de suavização das soluções. - A equação dada é muito parecida com a equação de Helmholtz/Poisson, aqui escrita como
, e é um exemplo típico de PDE elíptica com coeficientes constantes.
Resposta
Tipo: elíptica.
Ordem: .
Ordem: