Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x-x^{2}, & \text { se } x<-2 \\\ x^{3}+2, & \text { se } x>-2 \\\\ 3, & \text { se } x=-2\end{array} \quad\right. com a=-2.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes em torno de -2\): \[f(x)= \begin{cases} x - x^2, &\text{se }x<-2,\\\ x^3+2, &\text{se }x>-2,\\\\ 3, &\text{se }x=-2. \end{cases}
Queremos verificar a continuidade em a=-2\]. Para isso, vamos usar a definição de continuidade: é preciso que existam os limites laterais em \(-2, que eles coincidam entre si (formando o limite), e que esse limite seja igual a f(-2).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda em -2:
\lim_{x\to -2^-}f(x) =\lim_{x\to -2^-}(x - x^2) =-2 - (-2)^2 =-2 - 4 =-6.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita em -2:
\lim_{x\to -2^+}f(x) =\lim_{x\to -2^+}(x^3+2) =(-2)^3 + 2 =-8 + 2 =-6.

Passo 4

Como os limites laterais coincidem, temos
\lim_{x\to -2}f(x)=-6.
Mas o valor da função em -2 é
f(-2)=3,
que é diferente de -6. Logo, a continuidade falha pois \lim_{x\to -2}f(x)\neq f(-2).

Resposta

A função não é contínua em -2.

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