Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado: f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-8, \text { se } x<3 \\\ \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x-3}, \quad \text { se } x>3 \\\\ 1, \quad \text { se } x=3\end{array} \quad\right. com a=3. Passo 1O enunciado dá a função f(x)= \begin{cases} x^{2}-8, & \text{se }x<3,\\\ \dfrac{\sin(x-3)}{x-3}, & \text{se }x>3,\\\\ 1, & \text{se }x=3, \end{cases} e pede para verificar a continuidade em a=3. Para isso precisamos usar o conceito de continuidade: f é contínua em x=3 se e somente se \lim_{x\to3^-}f(x) =\lim_{x\to3^+}f(x) = f(3). Passo 2Calcular o limite pela esquerda. Como para x<3 vale f(x)=x^2-8, temos \lim_{x\to3^-}f(x) =\lim_{x\to3^-}(x^2-8) =3^2-8 =9-8 =1. Passo 3Calcular o limite pela direita. Fazendo a mudança h=x-3, quando x\to3^+ temos h\to0^+ e \lim_{x\to3^+}f(x) =\lim_{h\to0^+}\frac{\sin(h)}{h} =1, que é o limite trigonométrico clássico. Passo 4Comparando as laterais e o valor no ponto: \lim_{x\to3^-}f(x)=1, \quad \lim_{x\to3^+}f(x)=1, \quad f(3)=1. Como todos coincidem, concluímos que f é contínua em x=3. RespostaA função é contínua em a=3. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosVerifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado: f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+3, \text { se } x \leq 1 \\\\ 4, \text { se } x>1\end{array} \quad\right. em a=1. Calcule usando os limites fundamentais. \lim _{x \rightarrow-1}(2+x)^{\frac{1}{x+1}} Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x-x^{2}, & \text { se } x<-2 \\\ x^{3}+2, & \text { se } x>-2 \\\\ 3, & \text { se } x=-2\end{array} \quad\right. com a=-2. Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x-x^{2}, & \text { se } x<-2 \\\ x^{3}+2, & \text { se } x>-2 \\\\ 3, & \text { se } x=-2\end{array} \quad\right. com a=-2.