Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-8, \text { se } x<3 \\\ \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x-3}, \quad \text { se } x>3 \\\\ 1, \quad \text { se } x=3\end{array} \quad\right. com a=3.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}-8, & \text{se }x<3,\\\ \dfrac{\sin(x-3)}{x-3}, & \text{se }x>3,\\\\ 1, & \text{se }x=3, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade em a=3.
Para isso precisamos usar o conceito de continuidade: f é contínua em x=3 se e somente se
\lim_{x\to3^-}f(x) =\lim_{x\to3^+}f(x) = f(3).

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda. Como para x<3 vale f(x)=x^2-8, temos
\lim_{x\to3^-}f(x) =\lim_{x\to3^-}(x^2-8) =3^2-8 =9-8 =1.

Passo 3

Calcular o limite pela direita. Fazendo a mudança h=x-3, quando x\to3^+ temos h\to0^+ e
\lim_{x\to3^+}f(x) =\lim_{h\to0^+}\frac{\sin(h)}{h} =1,
que é o limite trigonométrico clássico.

Passo 4

Comparando as laterais e o valor no ponto:
\lim_{x\to3^-}f(x)=1, \quad \lim_{x\to3^+}f(x)=1, \quad f(3)=1.
Como todos coincidem, concluímos que f é contínua em x=3.

Resposta

A função é contínua em a=3.

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