Verifique se cada uma das funções abaixo é uma solução da equação ut t=4 ux x.
(a) u(x, t)=sen(k x) sen(2 k t).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função u(x,t)=sin(kx)sin(2kt) satisfaz a equação de ondas utt=4,uxx. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem em t e em x.

Passo 2

Primeiro, derivamos em relação a t: temos
partial upartial t=sin(kx)cdot2kcos(2kt)
e derivando mais uma vez em t:
partial^2 upartial t^2=sin(kx)cdot(-4k^2sin(2kt))=-4k^2sin(kx)sin(2kt)

Passo 3

Agora, derivamos em relação a x:
partial upartial x=kcos(kx)sin(2kt)
e mais uma vez em x:
partial^2 upartial x^2=-k^2sin(kx)sin(2kt)

Passo 4

Multiplicando uxx por 4, obtemos
4,uxx=-4k^2sin(kx)sin(2kt)
Como utt=-4k^2sin(kx)sin(2kt) coincide com 4uxx, concluímos que a igualdade utt=4uxx é satisfeita.

Resposta

Sim, a função satisfaz utt=4uxx e, portanto, é uma solução da equação.

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