Determine as derivadas parciais indicadas:
(e) h(x, y, z)=-3 x^2 y^2-y^3 x^2 z^3+cos ^2 z ; partial^3 hpartial x partial y^2.

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada parcial mista de terceira ordem dfracpartial^3 hpartial x,partial y^2 da função h(x,y,z)=-3x^2y^2 - y^3x^2z^3 + cos^2 z. Vamos usar as regras de derivadas parciais, diferenciando primeiro em y duas vezes e depois em x.

Passo 2

Derivando h em relação a y termo a termo: o primeiro termo -3x^2y^2 gera -6x^2y, o segundo termo -y^3x^2z^3 gera -3x^2y^2z^3 e cos^2z não depende de y. Assim,
partial hpartial y = -6x^2y -3x^2y^2z^3

Passo 3

Derivando novamente em y: o termo -6x^2y gera gera (-6x^2y z^3). Assim,
-6x^2) e o termo (-3x^2y^2z^3

Passo 4

Por fim, aplicamos dfracpartialpartial x no resultado acima: o derivado de (-6x^2) é (-12x) e o de (-6x^2y z^3) é (-12x y z^3). Portanto,
partial^3 hpartial xpartial y^2 = -12x -12x y z^3

Resposta

-12x -12x y z^3

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