Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(d) G(t, s, z)=cos (t s)+sen(z^3).

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
G(t,s,z)=cos(ts)+sin(z^3)
O conteúdo é derivadas parciais de funções de várias variáveis e vamos usar as regras de derivação (cadeia, produto e as derivadas de cos e sin).

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de primeira ordem:
Gt=partialpartial t[cos(ts)]= -sin(ts)cdot s,
Gs=partialpartial s[cos(ts)]= -sin(ts)cdot t,
Gz=partialpartial z[sin(z^3)]= cos(z^3)cdot 3z^2

Passo 3

Agora calculamos Gtt=partialpartial t(Gt):
Gtt=partialpartial t[-ssin(ts)]= -scdot cos(ts)cdot s = -s^2cos(ts)

Passo 4

Em seguida Gts=partialpartial s(Gt) (e vale Gst=Gts por teorema de Schwarz):
Gts=partialpartial s[-ssin(ts)]= -sin(ts) - scdot cos(ts)cdot t = -sin(ts) - stcos(ts)

Passo 5

Agora Gss=partialpartial s(Gs):
Gss=partialpartial s[-tsin(ts)]= -tcdot cos(ts)cdot t = -t^2cos(ts)

Passo 6

Como Gt e Gs não dependem de z, temos
Gtz=Gzt=partialpartial z(Gt)=0,
Gsz=Gzs=partialpartial z(Gs)=0

Passo 7

Por fim Gzz=partialpartial z(Gz). Usando produto e cadeia:
Gzz=partialpartial z[3z^2cos(z^3)] =6zcos(z^3) +3z^2cdot(-sin(z^3))cdot3z^2 =6zcos(z^3) -9z^4sin(z^3)

Resposta

As derivações parciais de segunda ordem de G(t,s,z)=cos(ts)+sin(z^3) são:
Gtt=-s^2cos(ts),
Gts=Gst=-sin(ts)-stcos(ts),
Gss=-t^2cos(ts),
Gtz=Gzt=0,
Gsz=Gzs=0,
Gzz=6zcos(z^3)-9z^4sin(z^3)

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