Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
V=C^{2} sobre R.
\mathrm{W}=\left\{(\mathrm{a}+\mathrm{bi}, \mathrm{c}+\mathrm{di}) \in \mathrm{C}^{2} ; \mathrm{a}-2 \mathrm{c}=0 \mathrm{e} \mathrm{b}+\mathrm{d}=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • V=\mathbb{C}^{2} considerado como espaço vetorial sobre \mathbb{R} (ou seja, os escalares são números reais).
  • \mathrm{W}=\left\{(a+bi,\;c+di)\in\mathbb{C}^{2}\;;\;a-2c=0\\ \text{e}\\ b+d=0\right\}.
O que se pede:
  • Verificar se \mathrm{W} é um subespaço vetorial de V.
Informações relevantes que vem do enunciado:
  • Cada vetor de \mathrm{W} tem quatro componentes reais a,b,c,d ligados por duas equações lineares: a=2c e d=-b.
  • Os escalares permitidos nas combinações lineares são reais (porque V é sobre \mathbb{R}).

Passo 2

Lembrete (definição prática de subespaço): para verificar que \mathrm{W} é subespaço de V basta checar três coisas simples:
  1. \mathrm{W} não é vazio (por exemplo, contém o vetor zero).
  2. \mathrm{W} é fechado sob soma: se u\in\mathrm{W} e v\in\mathrm{W} então u+v\in\mathrm{W}.
  3. \mathrm{W} é fechado sob multiplicação por escalares reais: se u\in\mathrm{W} e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in\mathrm{W}.
Vou checar esses três itens passo a passo. É a forma direta e elementar — a que dá para fazer rápido na prova.

Passo 3

Verificar que o vetor zero pertence a \mathrm{W}.
O vetor zero em \mathbb{C}^{2} é (0+0i,\;0+0i). Aqui a=0,\\ b=0,\\ c=0,\\ d=0.
Checando as equações:
  • a-2c=0-2\cdot0=0.
  • b+d=0+0=0.
Portanto (0+0i,\;0+0i)\in\mathrm{W}. Logo \mathrm{W} não é vazio.

Passo 4

Fechamento por soma.
Sejam
u=(a_1+b_1 i,\;c_1+d_1 i)\in\mathrm{W}, \qquad v=(a_2+b_2 i,\;c_2+d_2 i)\in\mathrm{W}.
Pelo fato de pertencerem a \mathrm{W} temos
a_1-2c_1=0,\quad b_1+d_1=0, \qquad a_2-2c_2=0,\quad b_2+d_2=0.
Considere a soma
u+v=(a_1+a_2) + (b_1+b_2)i,\; (c_1+c_2) + (d_1+d_2)i.
Verificamos as condições para u+v:
  • (a_1+a_2)-2(c_1+c_2)=(a_1-2c_1)+(a_2-2c_2)=0+0=0.
  • (b_1+b_2)+(d_1+d_2)=(b_1+d_1)+(b_2+d_2)=0+0=0.
Portanto u+v satisfaz as duas equações e assim u+v\in\mathrm{W}. Logo \mathrm{W} é fechado por soma.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar real.
Seja u=(a+b i,\;c+d i)\in\mathrm{W} e seja \alpha\in\mathbb{R}. Como u\in\mathrm{W} temos a-2c=0 e b+d=0.
Calcule \alpha u=(\alpha a + \alpha b\,i,\; \alpha c + \alpha d\,i). Verificamos:
  • (\alpha a)-2(\alpha c)=\alpha(a-2c)=\alpha\cdot 0=0.
  • (\alpha b)+(\alpha d)=\alpha(b+d)=\alpha\cdot 0=0.
Como ambas condições permanecem verdadeiras, \alpha u\in\mathrm{W}. Assim \mathrm{W} é fechado sob multiplicação por escalares reais.

Passo 6

Conclusão de subespaço.
Dos passos anteriores temos: \mathrm{W} contém o zero, é fechado por soma e por multiplicação por escalares reais. Portanto \mathrm{W} é um subespaço vetorial de V=\mathbb{C}^{2} (considerado sobre \mathbb{R}).
Além disso, é útil entender a estrutura de \mathrm{W} para usar na prova: a partir das equações a=2c e d=-b cada vetor de \mathrm{W} pode ser escrito como
(a+bi,\;c+di)=(2c + b i,\; c - b i).
Escrevendo isso como combinação linear com coeficientes reais c e b:
(2c + b i,\; c - b i)=c\,(2+0i,\;1+0i)+b\,(0+1i,\;0-1i).
Ou seja,
\mathrm{W}=\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\{(2,1),\,(i,-i)\},
onde escrevi (2,1) como atalho para (2+0i,\;1+0i) e (i,-i) para (0+1i,\;0-1i).

Passo 7

Dimensão e independência linear (com prova curta).
Verifico que os vetores (2,1) e (i,-i) são linearmente independentes sobre \mathbb{R}. Se existirem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(2,1)+\beta(i,-i)=(0,0),
então olhando a primeira componente:
2\alpha + \beta i = 0+0i.
A parte real dá 2\alpha=0\Rightarrow \alpha=0. A parte imaginária dá \beta=0. Assim \alpha=\beta=0. Logo são independentes e, como geram \mathrm{W}, temos \dim_{\mathbb{R}}\mathrm{W}=2.

Resposta

Sim. \mathrm{W} é subespaço vetorial de V. Uma base é \{(2,1),\,(i,-i)\} e \dim_{\mathbb{R}}\mathrm{W}=2.

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