Verifique em cada item a seguir se
é um subespaço vetorial de
.
sobre
.
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
considerado como espaço vetorial sobre (ou seja, os escalares são números reais). -
.
O que se pede:
- Verificar se
é um subespaço vetorial de .
Informações relevantes que vem do enunciado:
- Cada vetor de
tem quatro componentes reais ligados por duas equações lineares: e . - Os escalares permitidos nas combinações lineares são reais (porque
é sobre ).
Passo 2
Lembrete (definição prática de subespaço): para verificar que
é subespaço de
basta checar três coisas simples:
-
não é vazio (por exemplo, contém o vetor zero). -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalares reais: se e então .
Vou checar esses três itens passo a passo. É a forma direta e elementar — a que dá para fazer rápido na prova.
Passo 3
Verificar que o vetor zero pertence a
.
O vetor zero em
é
. Aqui
.
Checando as equações:
Checando as equações:
-
. -
.
Portanto
. Logo
não é vazio.
Passo 4
Fechamento por soma.
Sejam
Pelo fato de pertencerem a
temos
Considere a soma
Verificamos as condições para
:
Portanto
satisfaz as duas equações e assim
. Logo
é fechado por soma.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar real.
Seja
e seja
. Como
temos
e
.
Calcule
. Verificamos:
Como ambas condições permanecem verdadeiras,
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalares reais.
Passo 6
Conclusão de subespaço.
Dos passos anteriores temos:
contém o zero, é fechado por soma e por multiplicação por escalares reais. Portanto
é um subespaço vetorial de
(considerado sobre
).
Além disso, é útil entender a estrutura de
para usar na prova: a partir das equações
e
cada vetor de
pode ser escrito como
Escrevendo isso como combinação linear com coeficientes reais
e
:
Ou seja,
onde escrevi
como atalho para
e
para
.
Passo 7
Dimensão e independência linear (com prova curta).
Verifico que os vetores
e
são linearmente independentes sobre
. Se existirem
tais que
então olhando a primeira componente:
A parte real dá
. A parte imaginária dá
. Assim
. Logo são independentes e, como geram
, temos
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
. Uma base é
e
.