Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam invertíveis
\left[\begin{array}{ccc}a+3 & 7 & 6 \\\\ -1 & a-5 & -6 \\\\ 1 & 1 & a+2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}a+3 & 7 & 6 \\[4pt] -1 & a-5 & -6 \\[4pt] 1 & 1 & a+2 \end{pmatrix}
e pede para determinar os valores de a (o enunciado menciona “a e b”, mas a matriz depende apenas de a; portanto vamos determinar os valores de a para os quais a matriz é invertível).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz é 3\times3.
  • A única incógnita presente na matriz é a.]

Passo 2

Conceito que vamos usar (aulas curtinhas e práticas):
  • Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, A é invertível \iff \det(A)\neq0.
  • Para uma matriz 3\times3 podemos calcular o determinante por expansão por cofatores (por exemplo, pela primeira linha) ou usar a regra de Sarrus. Vou usar a expansão pela primeira linha porque é direta para expressar em função de a.
Fórmula da expansão pela primeira linha: se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
então
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} e M_{1j} é o menor (determinante 2\times2) obtido apagando linha 1 e coluna j. Vou aplicar isso com a primeira linha de A.]

Passo 3

Calcular o menor M_{11} (apagar linha 1, coluna 1):
M_{11}=\det\begin{pmatrix}a-5 & -6 \\[4pt] 1 & a+2\end{pmatrix}=(a-5)(a+2)-(-6)\cdot1.
Agora expandir e simplificar:
M_{11}=a^2+2a-5a-10+6=a^2-3a-4.
O cofator correspondente é C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}=a^2-3a-4.]

Passo 4

Calcular o menor M_{12} (apagar linha 1, coluna 2):
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-1 & -6 \\[4pt] 1 & a+2\end{pmatrix}=(-1)(a+2)-(-6)\cdot1.
Expandindo:
M_{12}=-a-2+6=-a+4.
O cofator é C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-M_{12}=-(-a+4)=a-4.]

Passo 5

Calcular o menor M_{13} (apagar linha 1, coluna 3):
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-1 & a-5 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-(a-5)\cdot1=-1-(a-5).
Expandindo:
M_{13}=-1-a+5=4-a.
O cofator é C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=M_{13}=4-a.]

Passo 6

Agora montar o determinante pela primeira linha:
\det(A)=(a+3)C_{11}+7C_{12}+6C_{13}.
Substituindo os cofatores:
\det(A)=(a+3)\bigl(a^2-3a-4\bigr)+7\bigl(a-4\bigr)+6\bigl(4-a\bigr).
Vamos expandir passo a passo.
Primeiro produto:
(a+3)(a^2-3a-4)=a^3-3a^2-4a+3a^2-9a-12=a^3-13a-12.
Segundo termo:
7(a-4)=7a-28.
Terceiro termo:
6(4-a)=24-6a.
Somando tudo:
\det(A)=\bigl(a^3-13a-12\bigr)+\bigl(7a-28\bigr)+\bigl(24-6a\bigr).
Agrupando os coeficientes de a e as constantes:
\det(A)=a^3+(-13a+7a-6a)+(-12-28+24)=a^3-12a-16.

Passo 7

Temos o determinante como polinômio em a:
\det(A)=a^3-12a-16.
Para saber quando a matriz NÃO é invertível, resolvemos \det(A)=0, ou seja:
a^3-12a-16=0.
Procuramos raízes racionais possíveis (teorema das raízes racionais): possíveis divisores de 16 são \pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\pm16. Testando a=4:
4^3-12\cdot4-16=64-48-16=0,
logo a=4 é raiz. Dividindo o polinômio por (a-4) (divisão de polinômios ou sintética) obtemos
a^3-12a-16=(a-4)(a^2+4a+4).
O quadrático a^2+4a+4 é completável ao quadrado:
a^2+4a+4=(a+2)^2.
Portanto fatoramos completamente:
\det(A)=(a-4)(a+2)^2.

Passo 8

Das raízes do determinante vemos que \det(A)=0 quando a=4 ou a=-2 (com multiplicidade 2). Conclusão final sobre invertibilidade:
  • A matriz A não é invertível para a=4 ou a=-2.
  • A matriz A é invertível para todo a tal que a\neq4 e a\neq-2.
Força aí — repete este cálculo rápido com papel e caneta mais uma vez e vai ficar automático na prova!

Resposta

A matriz é invertível para todos os a\in\mathbb{R} tais que a\neq4 e a\neq-2.

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