Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam invertíveis \left[\begin{array}{ccc}a+3 & 7 & 6 \\\\ -1 & a-5 & -6 \\\\ 1 & 1 & a+2\end{array}\right].
e pede para determinar os valores de a (o enunciado menciona “a e b”, mas a matriz depende apenas de a; portanto vamos determinar os valores de a para os quais a matriz é invertível).
Informações relevantes dadas:
A matriz é 3\times3.
A única incógnita presente na matriz é a.]
Passo 2
Conceito que vamos usar (aulas curtinhas e práticas):
Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, A é invertível \iff \det(A)\neq0.
Para uma matriz 3\times3 podemos calcular o determinante por expansão por cofatores (por exemplo, pela primeira linha) ou usar a regra de Sarrus. Vou usar a expansão pela primeira linha porque é direta para expressar em função de a.
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} e M_{1j} é o menor (determinante 2\times2) obtido apagando linha 1 e coluna j. Vou aplicar isso com a primeira linha de A.]
Passo 3
Calcular o menor M_{11} (apagar linha 1, coluna 1):