Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
(e)
e
(e)
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Aqui, estamos trabalhando com espaço vetorial de polinômios de grau no máximo 1. Para resolver isso, precisamos lembrar das condições que definem um subespaço vetorial e verificar se
as satisfaz.
Passo 2
Primeiramente, lembramos que um subespaço vetorial deve cumprir três condições:
- Contém o vetor zero: O polinômio zero deve estar em
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Passo 3
Verificando a condição 1: O polinômio zero é
. Calculando a integral:
Portanto, o polinômio zero está em
.
Passo 4
Verificando a condição 2: Suponha que
e
estão em
, ou seja:
Queremos verificar se
também está em
:
Portanto,
está em
.
Passo 5
Verificando a condição 3: Seja
um polinômio em
e
um escalar. Calculamos:
Logo,
também está em
.
Resposta
Como
satisfaz todas as três condições necessárias, concluímos que
é um subespaço do espaço vetorial
.