Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(e) V=P1 e S=p(x) in P1: integral0^1 p(x) d x=0

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, estamos trabalhando com espaço vetorial de polinômios de grau no máximo 1. Para resolver isso, precisamos lembrar das condições que definem um subespaço vetorial e verificar se as satisfaz.

Passo 2

Primeiramente, lembramos que um subespaço vetorial deve cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: O polinômio zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .

Passo 3

Verificando a condição 1: O polinômio zero é integral0^1 0 , dx = 0 . Calculando a integral:
Portanto, o polinômio zero está em .

Passo 4

Verificando a condição 2: Suponha que integral0^1 p(x) , dx = 0 e integral0^1 q(x) , dx = 0 e integral0^1 [p(x) + q(x)] , dx = integral0^1 p(x) , dx + integral0^1 q(x) , dx = 0 + 0 = 0 estão em , ou seja:
Queremos verificar se também está em :
Portanto, está em .

Passo 5

Verificando a condição 3: Seja integral0^1 [c cdot p(x)] , dx = c cdot integral0^1 p(x) , dx = c cdot 0 = 0 um polinômio em e um escalar. Calculamos:
Logo, também está em .

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias, concluímos que é um subespaço do espaço vetorial .

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