Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Sejam A, B e C matrizes. Se B C=C B e A C=C A, então (A B) C=C(A B).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: sejam A, B e C matrizes (assumimos matrizes quadradas de mesma ordem, para que todos os produtos abaixo estejam definidos). As hipóteses são
B C = C B
e
A C = C A.
A pergunta é: a partir dessas hipóteses, podemos concluir que
( A B ) C = C ( A B )\; ?

Passo 2

Vou explicar os conceitos e propriedades que vou usar, devagarinho e sem pular etapa.
  • Dizemos que duas matrizes X e Y “comutam” quando X Y = Y X. Assim, as hipóteses acima afirmam que B comuta com C e A comuta com C.
  • Uma propriedade essencial da multiplicação de matrizes é a associatividade: para quaisquer matrizes X,Y,Z com produtos bem definidos vale
( X Y ) Z = X ( Y Z ).
Isto significa que podemos mudar onde colocamos os parênteses sem alterar o resultado, desde que a ordem das matrizes seja preservada.
  • Também usarei a propriedade lógica de substituição: se P=Q então, em qualquer expressão em que apareça P, posso substituir por Q.
Com essas ferramentas podemos manipular as expressões passo a passo.

Passo 3

Começo com a expressão à esquerda que queremos comparar, ( A B ) C. Usando associatividade podemos reescrevê-la mudando os parênteses:
( A B ) C = A ( B C ).
Justificativa: pela associatividade de multiplicação de matrizes, (AB)C = A(BC).

Passo 4

Agora uso a hipótese B C = C B. Substituo B C por C B dentro de A(BC):
A ( B C ) = A ( C B ).
Justificativa: como B C = C B, podemos trocar BC por CB mantendo o restante da expressão igual.

Passo 5

Aplico novamente associatividade à expressão A(CB) para deslocar os parênteses:
A ( C B ) = ( A C ) B.
Justificativa: pela associatividade, A(CB) = (AC)B.

Passo 6

Agora uso a hipótese A C = C A. Substituo (A C) por (C A) em (A C)B:
( A C ) B = ( C A ) B.
Justificativa: pela hipótese AC = CA posso trocar AC por CA.

Passo 7

Finalmente aplico associatividade uma última vez para obter a expressão na forma desejada:
( C A ) B = C ( A B ).
Justificativa: pela associatividade, (CA)B = C(AB).

Passo 8

Juntando as igualdades das Passos 3 a 7 obtemos a cadeia
( A B ) C = A( B C ) = A( C B ) = ( A C ) B = ( C A ) B = C( A B ),
portanto
( A B ) C = C( A B ).
Concluímos que a igualdade desejada é verdadeira sob as hipóteses dadas.

Resposta

Verdadeira.

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