Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Sejam
e
matrizes. Se
e
, então
.
Sejam
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: sejam
,
e
matrizes (assumimos matrizes quadradas de mesma ordem, para que todos os produtos abaixo estejam definidos). As hipóteses são
e
A pergunta é: a partir dessas hipóteses, podemos concluir que
Passo 2
Vou explicar os conceitos e propriedades que vou usar, devagarinho e sem pular etapa.
- Dizemos que duas matrizes
e “comutam” quando . Assim, as hipóteses acima afirmam que comuta com e comuta com . - Uma propriedade essencial da multiplicação de matrizes é a associatividade: para quaisquer matrizes
com produtos bem definidos vale
Isto significa que podemos mudar onde colocamos os parênteses sem alterar o resultado, desde que a ordem das matrizes seja preservada.
- Também usarei a propriedade lógica de substituição: se
então, em qualquer expressão em que apareça , posso substituir por .
Com essas ferramentas podemos manipular as expressões passo a passo.
Passo 3
Começo com a expressão à esquerda que queremos comparar,
. Usando associatividade podemos reescrevê-la mudando os parênteses:
Justificativa: pela associatividade de multiplicação de matrizes,
.
Passo 4
Agora uso a hipótese
. Substituo
por
dentro de
:
Justificativa: como
, podemos trocar
por
mantendo o restante da expressão igual.
Passo 5
Aplico novamente associatividade à expressão
para deslocar os parênteses:
Justificativa: pela associatividade,
.
Passo 6
Agora uso a hipótese
. Substituo
por
em
:
Justificativa: pela hipótese
posso trocar
por
.
Passo 7
Finalmente aplico associatividade uma última vez para obter a expressão na forma desejada:
Justificativa: pela associatividade,
.
Passo 8
Juntando as igualdades das Passos 3 a 7 obtemos a cadeia
portanto
Concluímos que a igualdade desejada é verdadeira sob as hipóteses dadas.
Resposta
Verdadeira.