Questão 5 (1 pontos). Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal a curva
no ponto cujo abscissa é
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: encontrar a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
no ponto cuja abscissa é
.\n
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função acima), e o ponto está em
. Precisamos calcular o valor de
em
e a derivada
para obter a inclinação da tangente. A partir daí escrevemos as equações da tangente e da normal.
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função
Passo 2
Vamos avaliar a função no ponto
para obter a ordenada do ponto de tangência. Substituindo
em cada parte:
Portanto o numerador em
é
. O denominador é
Logo o valor da função em
é
Isso nos dá o ponto de interesse
.
Passo 3
Para obter a inclinação da reta tangente precisamos de
. A função é uma razão de duas funções, então usamos a regra do quociente. Se
, então
Vou definir:
Explico as derivadas que usarei:
. Para
usamos a regra da cadeia: se
então
. Aqui
, logo
.
Passo 4
Calculemos
e
explicitamente:
Passo 5
Agora avaliamos
,
,
e
em
.
Já temos e
do Passo 2.
Para :
Já temos
Para
Para
:
Passo 6
Aplicamos a regra do quociente em
:
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto é
.
Passo 7
Fórmula da reta tangente no ponto
com inclinação
:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 8
A reta normal tem inclinação igual ao oposto do inverso da inclinação da tangente (desde que a tangente não seja horizontal nula). Como
, a inclinação da normal é
Usando a fórmula da reta com ponto
:
Simplificando: