Questão 5 (1 pontos). Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal a curva
y=\frac{\ln (x)+7 \operatorname{sen}(1-x)}{2 x^{3}+1}
no ponto cujo abscissa é x=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: encontrar a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
y=\frac{\ln(x)+7\sin(1-x)}{2x^{3}+1}
no ponto cuja abscissa é \;x=1.\n
Informações dadas que vamos usar: a expressão da função \;y(x) acima), e o ponto está em \;x=1. Precisamos calcular o valor de \;y em \;x=1 e a derivada \;y'(1) para obter a inclinação da tangente. A partir daí escrevemos as equações da tangente e da normal.

Passo 2

Vamos avaliar a função no ponto \;x=1 para obter a ordenada do ponto de tangência. Substituindo \;x=1 em cada parte:
\ln(1)=0,\qquad \sin(1-1)=\sin(0)=0.
Portanto o numerador em \;x=1 é \;0+7\cdot0=0. O denominador é
2\cdot 1^{3}+1=2+1=3.
Logo o valor da função em \;x=1 é
y(1)=\frac{0}{3}=0.
Isso nos dá o ponto de interesse (1,0).

Passo 3

Para obter a inclinação da reta tangente precisamos de \;y'(x). A função é uma razão de duas funções, então usamos a regra do quociente. Se \;y=\dfrac{N(x)}{D(x)}, então
y'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Vou definir:
N(x)=\ln(x)+7\sin(1-x), \qquad D(x)=2x^{3}+1.
Explico as derivadas que usarei: \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}. Para \sin(1-x) usamos a regra da cadeia: se u(x)=1-x então \dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u'(x). Aqui u'(x)=-1, logo \dfrac{d}{dx}\sin(1-x)=-\cos(1-x).

Passo 4

Calculemos N'(x) e D'(x) explicitamente:
N'(x)=\frac{1}{x}+7\cdot\frac{d}{dx}\sin(1-x)=\frac{1}{x}+7\cdot\big(-\cos(1-x)\big)=\frac{1}{x}-7\cos(1-x).
D'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{3}+1)=6x^{2}.

Passo 5

Agora avaliamos N(x), N'(x), D(x) e D'(x) em \;x=1.
Já temos N(1)=\ln(1)+7\sin(0)=0 e D(1)=3 do Passo 2.
Para N'(1):
N'(1)=\frac{1}{1}-7\cos(1-1)=1-7\cos(0)=1-7\cdot1=1-7=-6.
Para D'(1):
D'(1)=6\cdot 1^{2}=6.

Passo 6

Aplicamos a regra do quociente em \;x=1:
y'(1)=\frac{N'(1)D(1)-N(1)D'(1)}{[D(1)]^{2}}=\frac{(-6)\cdot 3 - 0\cdot 6}{3^{2}}=\frac{-18}{9}=-2.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto é \;m_{\text{tan}}=y'(1)=-2.

Passo 7

Fórmula da reta tangente no ponto (x_{0},y_{0})=(1,0) com inclinação m_{\text{tan}}:
y-y_{0}=m_{\text{tan}}(x-x_{0}).
Substituindo y_{0}=0, x_{0}=1 e m_{\text{tan}}=-2:
y-0=-2(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=-2(x-1).
Simplificando:
y=-2x+2.

Passo 8

A reta normal tem inclinação igual ao oposto do inverso da inclinação da tangente (desde que a tangente não seja horizontal nula). Como m_{\text{tan}}=-2, a inclinação da normal é
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tan}}}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}.
Usando a fórmula da reta com ponto (1,0):
y-0=\frac{1}{2}(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{2}(x-1).
Simplificando:
y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.

Resposta

y=-2x+2\n
y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados