(a) Use matrizes elementares para escrever a matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & 1 \\\\ 2 & 5 & 6 & 2 \\\\ -3 & -2 & 7 & -3 \\\\ 1 & 3 & 2 & 2\end{array}\right] na forma A=B C, onde B é triangular inferior e C é triangular superior (OBS: uma matriz n \times n é triangular inferior se todos os valores acima da diagonal principal são nulos; uma matriz n \times n é triangular superior se todos os valores abaixo da diagonal principal são nulos).
(b) Calcule $\operatorname{det} A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & 5 & 6 & 2 \\[4pt] -3 & -2 & 7 & -3 \\[4pt] 1 & 3 & 2 & 2\end{array}\right]
e pede duas coisas:
  1. Escrever A na forma A=B\,C, onde B é triangular inferior e C é triangular superior (ou seja, fazer uma decomposição LU usando matrizes elementares).
  2. Calcular \det A.
Dados relevantes: todos os elementos da matriz A estão explícitos; A é 4\times4. Não há permutações de linhas necessárias porque o primeiro pivô é a_{11}=1\neq0.]

Passo 2

Rápida explicação sobre matrizes elementares e elimininação (levando na conversa como se eu fosse seu amigo ajudando na prova):
  • Uma operação elementar de linha do tipo R_i \leftarrow R_i - m\,R_j corresponde a multiplicar A à esquerda por uma matriz elementar E obtida a partir da identidade trocando o elemento (i,j) por -m. Por exemplo, a operação R_2\leftarrow R_2-2R_1 tem matriz elementar E=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  • Essas matrizes elementares são invertíveis; a inversa tem o mesmo formato, trocando o sinal do multiplicador (a inversa de E acima teria +2 em (2,1)).
  • Se aplicarmos uma sequência de matrizes elementares E_k\cdots E_2 E_1 a A e obtivermos uma matriz triangular superior U, então E_k\cdots E_2 E_1 A = U \quad\Rightarrow\quad A = (E_k\cdots E_2 E_1)^{-1} U.Como cada E_i^{-1} é triangular inferior com 1 na diagonal, o produto (E_k\cdots E_2 E_1)^{-1} será uma matriz triangular inferior L. Assim obtemos A=L U. Esse L terá na posição (i,j) (com i>j) exatamente os multiplicadores usados para eliminar elementos abaixo dos pivôs.
Agora vamos aplicar isso passo a passo em A.]

Passo 3

Eliminação na primeira coluna (pivot a_{11}=1). Os multiplicadores são
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-3}{1}=-3,\qquad m_{41}=\frac{a_{41}}{a_{11}}=\frac{1}{1}=1.
Aplicamos as operações:
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3+3R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_1.
Calculando cada linha:
  • Nova R_2: [2,5,6,2]-2\cdot[1,3,2,1]=[0,-1,2,0].
  • Nova R_3: [-3,-2,7,-3]+3\cdot[1,3,2,1]=[0,7,13,0].
  • Nova R_4: [1,3,2,2]-[1,3,2,1]=[0,0,0,1].
A matriz após esse bloco de operações é
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 7 & 13 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
A matriz elementar que representa essas três operações simultâneas é (obtida a partir da identidade com entradas (-2,3,-1) nas posições (2,1),(3,1),(4,1) respectivamente)
E_1=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],
de modo que E_1 A é exatamente a matriz acima. A inversa E_1^{-1} troca o sinal dos multiplicadores:
E_1^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora pivot na posição (2,2) da matriz atual: a_{22}=-1. Calculamos os multiplicadores para eliminar abaixo deste pivot:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{7}{-1}=-7,\qquad m_{42}=\frac{a_{42}}{a_{22}}=\frac{0}{-1}=0.
As operações são
R_3\leftarrow R_3-(-7)R_2 = R_3+7R_2,\qquad R_4\leftarrow R_4-0\cdot R_2 \text{ (sem mudança)}.ç
Aplicando em números:
  • Nova R_3: [0,7,13,0]+7\cdot[0,-1,2,0]=[0,0,27,0].
  • R_4 permanece [0,0,0,1].
A matriz resultante, que é triangular superior U, é
U=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 27 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
A matriz elementar correspondente a R_3\leftarrow R_3+7R_2 é
E_2=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 7 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],
e sua inversa é
E_2^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -7 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Observação: não foi necessário eliminar abaixo do pivot a_{33}=27 porque os elementos já eram zero ( m_{43}=0), então não há uma terceira matriz elementar não trivial além da identidade.]

Passo 5

Agora juntamos as operações: tivemos E_2 E_1 A = U. Portanto
A = (E_2 E_1)^{-1} U = E_1^{-1} E_2^{-1} U.
Definindo B:=E_1^{-1} E_2^{-1} (essa será a triangular inferior) e C:=U (triangular superior), obtemos A=B C.
Vamos calcular explicitamente B. Primeiro escrevemos E_1^{-1} e E_2^{-1} já dadas:
E_1^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],\qquad E_2^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -7 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Multiplicamos B=E_1^{-1}E_2^{-1}. Como são pequenas matrizes triangulares, multiplicação é direta; o produto é
B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -3 & -7 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
(Explicando: a entrada (3,2) de B é (-3)\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot(-7)= -7; as demais entradas abaixo da diagonal são os multiplicadores que encontramos: 2,-3,1 na coluna 1 e -7 na posição (3,2).)
Verificação rápida (só pra tirar a dúvida na prova): multiplicando B por U recuperamos A. Por exemplo, a segunda linha de B U é 2 vezes a primeira linha de U mais 1 vezes a segunda linha de U, ou seja
2\cdot[1,3,2,1]+[0,-1,2,0]=[2,6,4,2]+[0,-1,2,0]=[2,5,6,2],
que é exatamente a segunda linha de A. As outras linhas conferem também.
Portanto escolhemos
B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -3 & -7 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \qquad C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 27 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Cálculo de \det A. Usamos a propriedade de det de produto e de matrizes triangulares:
\det A = \det(B)\det\text{(C)}.
Mas B é triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a 1, então \det(B)=1. A matriz C é triangular superior, então \det\text{(C)} é o produto das entradas da diagonal:
\det\text{(C)}=1\cdot(-1)\cdot27\cdot1 = -27.
Logo
\det A = 1\cdot(-27) = -27.
(Comentário amigo: outra maneira rápida é observar que nas operações que fizemos — adicionar múltiplos de uma linha a outra — o determinante não mudou; ao final \det U=\det A, e \det U é o produto das diagonais.)

Resposta

B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -3 & -7 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \qquad C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 27 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
\det A = -27]

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