Verifique se cada uma das seguintes relações são de equivalência.
Seja
e considere
divide
.
Seja
e considere
Passo 1
O enunciado define a relação
onde
é um inteiro positivo. Precisamos verificar se
satisfaz as três propriedades que caracterizam uma relação de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificação da reflexividade. Para todo
temos
e
divide
(pois
). Logo
para todo
, o que prova que
é reflexiva.
Passo 3
Verificação da simetria. Suponha
. Isso significa que
divide
, ou seja, existe
tal que
Então
logo
também divide
, o que implica
. Assim,
é simétrica.
Passo 4
Verificação da transitividade. Suponha
e
. Então existem inteiros
e
tais que
Somando as duas igualdades vem
portanto
divide
, isto é,
. Logo
é transitiva.
Resposta
A relação
é de equivalência.