Verifique se cada uma das seguintes relações são de equivalência.
Seja \mathrm{n} \in \mathbb{Z}_{+}^{*}
e considere R=\{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: n divide x-y\}.

Passo 1

O enunciado define a relação
R = \{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \mid n \text{ divide } x - y\}
onde n é um inteiro positivo. Precisamos verificar se R satisfaz as três propriedades que caracterizam uma relação de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificação da reflexividade. Para todo x\in\mathbb{Z} temos
x - x = 0
e n divide 0 (pois 0 = 0\cdot n). Logo (x,x)\in R para todo x, o que prova que R é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria. Suponha (x,y)\in R. Isso significa que n divide x - y, ou seja, existe k\in\mathbb{Z} tal que
x - y = k\,n.
Então
y - x = -(x - y) = -k\,n,
logo n também divide y - x, o que implica (y,x)\in R. Assim, R é simétrica.

Passo 4

Verificação da transitividade. Suponha (x,y)\in R e (y,z)\in R. Então existem inteiros k e \ell tais que
x - y = k\,n \quad\text{e}\quad y - z = \ell\,n.
Somando as duas igualdades vem
(x - y) + (y - z) = k\,n + \ell\,n \quad\Longrightarrow\quad x - z = (k+\ell)\,n,
portanto n divide x - z, isto é, (x,z)\in R. Logo R é transitiva.

Resposta

A relação R é de equivalência.

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