Verifique que cada uma das sequências \left\{a_{n}\right\} a seguir é de Cauchy.
\frac{1}{n^{3}} , para cada inteiro positivo n.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a sequência \{a_n\} definida por a_n=\dfrac{1}{n^{3}}, para cada inteiro positivo n, é de Cauchy.
Informações dadas:
  • A sequência é \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{3}} com n\in\mathbb{N}.
  • Objetivo: provar que essa sequência satisfaz a definição de Cauchy (ou seja, mostrar que as diferenças entre termos distantes ficam arbitrariamente pequenas).

Passo 2

Definição de sequência de Cauchy (explicada passo a passo).
Uma sequência \{a_n\} é de Cauchy se vale a seguinte propriedade:
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe um }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todos }n,m\ge N, \quad |a_n-a_m|<\varepsilon.
Aqui:
  • \varepsilon>0 é um número arbitrariamente pequeno que eu fixo,
  • N é um índice natural que pode depender de \varepsilon,
  • a condição diz que a partir de N em diante todos os pares de termos da sequência estão a uma distância menor que \varepsilon.

Passo 3

Aplicar a definição ao caso a_n=\dfrac{1}{n^{3}}. Primeiro estimamos a diferença entre dois termos quaisquer n e m. Usamos a desigualdade triangular (que diz que |x-y|\le|x|+|y|) e o fato de que todos os a_n são positivos:
\left|\frac{1}{n^{3}}-\frac{1}{m^{3}}\right| \le \frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{m^{3}}.
Expliquei: como 1/n^{3}\ge0 e 1/m^{3}\ge0, o valor absoluto da diferença é no máximo a soma dos valores.

Passo 4

Agora, se n\ge N e m\ge N, então 1/n^{3}\le 1/N^{3} e 1/m^{3}\le 1/N^{3}, porque a função x\mapsto 1/x^{3} é decrescente para x>0. Assim:
\left|\frac{1}{n^{3}}-\frac{1}{m^{3}}\right| \le \frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{m^{3}} \le \frac{1}{N^{3}}+\frac{1}{N^{3}} = \frac{2}{N^{3}}.
Esse é um limite simples e fácil de controlar: a diferença entre quaisquer dois termos além do índice N fica no máximo igual a 2/N^{3}.

Passo 5

Dada uma tolerância arbitrária \varepsilon>0, escolhemos N de modo que \dfrac{2}{N^{3}}<\varepsilon. Resolver essa desigualdade para N dá:
N^{3}>\frac{2}{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad N>\left(\frac{2}{\varepsilon}\right)^{1/3}.
Portanto basta tomar, por exemplo,
N=\left\lceil\left(\frac{2}{\varepsilon}\right)^{1/3}\right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é a função teto (ou seja, o menor inteiro maior ou igual ao número). Essa escolha garante N\in\mathbb{N} e 2/N^{3}<\varepsilon.

Passo 6

Concluir que a condição de Cauchy é satisfeita. Com o N escolhido no passo anterior, para quaisquer n,m\ge N temos, pelas desigualdades dos passos 3–4,
\left|\frac{1}{n^{3}}-\frac{1}{m^{3}}\right|\le \frac{2}{N^{3}}<\varepsilon.
Como \varepsilon>0 foi arbitrário, isso mostra exatamente que \{a_n\} é uma sequência de Cauchy.

Resposta

A sequência \displaystyle\left\{a_n\right\}=\left\{\frac{1}{n^{3}}\right\} é de Cauchy.

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