Verifique que cada uma das sequências \left\{a_{n}\right\} a seguir é de Cauchy. \frac{1}{n^{3}} , para cada inteiro positivo n.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a sequência \{a_n\} definida por a_n=\dfrac{1}{n^{3}}, para cada inteiro positivo n, é de Cauchy.
Informações dadas:
A sequência é \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{3}} com n\in\mathbb{N}.
Objetivo: provar que essa sequência satisfaz a definição de Cauchy (ou seja, mostrar que as diferenças entre termos distantes ficam arbitrariamente pequenas).
Passo 2
Definição de sequência de Cauchy (explicada passo a passo).
Uma sequência \{a_n\} é de Cauchy se vale a seguinte propriedade:
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe um }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todos }n,m\ge N, \quad |a_n-a_m|<\varepsilon.
Aqui:
\varepsilon>0 é um número arbitrariamente pequeno que eu fixo,
N é um índice natural que pode depender de \varepsilon,
a condição diz que a partir de N em diante todos os pares de termos da sequência estão a uma distância menor que \varepsilon.
Passo 3
Aplicar a definição ao caso a_n=\dfrac{1}{n^{3}}. Primeiro estimamos a diferença entre dois termos quaisquer n e m. Usamos a desigualdade triangular (que diz que |x-y|\le|x|+|y|) e o fato de que todos os a_n são positivos:
onde \lceil\cdot\rceil é a função teto (ou seja, o menor inteiro maior ou igual ao número). Essa escolha garante N\in\mathbb{N} e 2/N^{3}<\varepsilon.
Passo 6
Concluir que a condição de Cauchy é satisfeita. Com o N escolhido no passo anterior, para quaisquer n,m\ge N temos, pelas desigualdades dos passos 3–4,