Verifique que cada uma das sequências \left\{a_{n}\right\} a seguir é de Cauchy.
\frac{1}{n^{2}} , para cada inteiro positivo n.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n=\frac{1}{n^{2}},\qquad n\in\mathbb{Z}_{+},
e pede para verificar que essa sequência é de Cauchy.
O que devemos provar (clarinho): para todo \varepsilon>0 existe um inteiro N tal que, sempre que m,n\ge N, vale
\lvert a_n-a_m\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Relembrando a definição de sequência de Cauchy (explicação passo a passo e com intuição).
  • Definição: Dizemos que \{a_n\} é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para quaisquer m,n\ge N,
\lvert a_n-a_m\rvert<\varepsilon.
  • Intuição: em termos simples, os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos entre si quando ambos os índices são suficientemente grandes — ou seja, a sequência “se junta” no infinito.
  • Estratégia prática para provar que uma sequência é de Cauchy: dado um \varepsilon>0, encontrar uma estimativa de \lvert a_n-a_m\rvert em termos de n e m que permita escolher N dependente de \varepsilon.

Passo 3

Vamos calcular e estimar a diferença \lvert a_n-a_m\rvert. Usando a forma explícita,
\lvert a_n-a_m\rvert=\left\lvert\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{m^{2}}\right\rvert.
Aplicamos a desigualdade triangular \lvert x-y\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert y\rvert (que é básica e muito útil) para obter um majorante simples:
\left\lvert\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{m^{2}}\right\rvert \le \frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{m^{2}}.

Passo 4

Agora usamos uma observação elementar: se m,n\ge N então \dfrac{1}{n^{2}}\le\dfrac{1}{N^{2}} e \dfrac{1}{m^{2}}\le\dfrac{1}{N^{2}}. Assim, para m,n\ge N,
\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{m^{2}}\le \frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{2}}=\frac{2}{N^{2}}.
Combinando com a desigualdade do passo anterior obtemos, para m,n\ge N,
\lvert a_n-a_m\rvert \le \frac{2}{N^{2}}.

Passo 5

Já sabemos que, para garantir \lvert a_n-a_m\rvert<\varepsilon, é suficiente escolher N tal que
\frac{2}{N^{2}}<\varepsilon.
Resolver essa desigualdade para N
N>\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}.
Logo podemos escolher, por exemplo,
N=\left\lceil\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é a função teto (o menor inteiro \ge o valor). Esse N é um inteiro e satisfaz \dfrac{2}{N^{2}}<\varepsilon.

Passo 6

Concluímos a prova direta: dado qualquer \varepsilon>0, escolhemos N=\left\lceil\sqrt{\tfrac{2}{\varepsilon}}\right\rceil. Então, para quaisquer m,n\ge N,
\lvert a_n-a_m\rvert \le \frac{2}{N^{2}}<\varepsilon.
Isso é exatamente a condição da definição de sequência de Cauchy. Portanto \{a_n\} é de Cauchy.

Passo 7

Comentário didático rápido (opcional, para fixar a ideia): outra forma comum é notar que \lim_{n\to\infty}a_n=0 (pois 1/n^{2}\to 0), e como todo espaço \mathbb{R} é completo, toda sequência convergente em \mathbb{R} é de Cauchy. A prova acima, porém, é direta e não usa completude — é o jeito “na caneta” que funciona numa prova sem dar atalhos.

Resposta

A sequência \{a_n\} definida por \;a_n=\dfrac{1}{n^{2}}\; é de Cauchy.

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