Considere as sequências \left\{a_{n}\right\} e \left\{b_{n}\right\}, onde a_{n}=\frac{10^{7}}{n} e b_{n}=\frac{n}{10^{7}}\, para cada inteiro positivo \(n.
A sequência \left\{a_{n}\right\} converge para 0 .)

Passo 1

O enunciado dá duas sequências para inteiros positivos n:
  • a_{n}=\dfrac{10^{7}}{n}.
  • b_{n}=\dfrac{n}{10^{7}} (esta está aí, mas a afirmação que vamos verificar é sobre a_n).
    A afirmação a ser verificada/provada é: a sequência \{a_{n}\} converge para 0.

Passo 2

O que significa "converge para 0"? Vou te explicar com a definição formal (essencial para prova rigorosa) e depois traduzimos para linguagem simples.
Definição (epsilon– N): dizemos que \{a_n\} converge para 0 quando, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N>0 tal que, para todo n\ge N, temos
|a_n-0|<\varepsilon.
Interpretação em palavras: dado qualquer número muito pequeno \varepsilon (o quanto de erro no limite aceitaremos), conseguimos encontrar um ponto N na sequência tal que todos os termos com índice n maior ou igual a N ficam dentro da distância \varepsilon de 0. É a ideia formal de “os termos ficam arbitrariamente próximos de 0 quando n é grande”.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso termo a_n. Primeiro calculemos a distância de a_n até 0:
|a_n-0|=|a_n|=\left|\dfrac{10^{7}}{n}\right|=\dfrac{10^{7}}{n},
porque para n>0 o quociente é positivo. Queremos assegurar que \dfrac{10^{7}}{n}<\varepsilon.

Passo 4

Resolver a desigualdade para n. A condição \dfrac{10^{7}}{n}<\varepsilon é equivalente (multiplicando ambos os lados por n>0 e dividindo por \varepsilon>0) a
n>\dfrac{10^{7}}{\varepsilon}.
Isso diz exatamente o que precisamos: se n for maior que 10^{7}/\varepsilon, então |a_n-0|<\varepsilon.

Passo 5

Escolha de N. Como N precisa ser um inteiro, uma escolha conveniente e explícita é
N=\left\lceil \dfrac{10^{7}}{\varepsilon}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x. Com essa escolha, para todo n\ge N temos n\ge \dfrac{10^{7}}{\varepsilon}, portanto
|a_n-0|=\dfrac{10^{7}}{n}\le \dfrac{10^{7}}{\,\dfrac{10^{7}}{\varepsilon}\,}=\varepsilon.
(Aqui usei que se n\ge \dfrac{10^{7}}{\varepsilon} então \dfrac{10^{7}}{n}\le \varepsilon.)

Passo 6

Conclusão formal e comentário didático. Acabamos de mostrar que para todo \varepsilon>0 existe um inteiro N (escolhido acima) tal que, para todo n\ge N, |a_n-0|<\varepsilon. Pela definição epsilon– N, isto prova que
\{a_n\}\\ \text{converge para}\\\ 0.
Intuição rápida: a_n é proporcional a 1/n (com constante 10^{7}), e sabemos que 1/n\to 0 quando n\to\infty; multiplicar por 10^{7} só altera a velocidade, não o fato do limite ser 0.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar (só para te deixar mais confiante): se escolhermos \varepsilon=10^{-3}, então
\dfrac{10^{7}}{\varepsilon}= \dfrac{10^{7}}{10^{-3}}=10^{10},
portanto tomando N=10^{10} (ou N=\lceil 10^{10}\rceil) garantimos que, para todo n\ge N, a_n<10^{-3}. Ou seja, depois de um índice grande o suficiente, todos os termos ficam menores que 0,001.

Resposta

A sequência \{a_n\} converge para 0.

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