Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (5+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y'=e^-yt com condição inicial y(0)=ln(5+1). O conteúdo usado aqui é separação de variáveis e integração de funções simples.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a equação é separável. Podemos escrever
dydt=t,e^-y
Separando as variáveis em cada membro, obtemos
$$
e^y,dy = t,dt
$$

Passo 3

Em seguida integramos ambos os lados:
$$\int e^y,dy = \int t,dt
$$

Passo 4

Isso leva a
e^y = t^22 + C

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=ln(6). Quando t=0, temos
e^y(0) = e^ln(6) = 6 = 0^22 + C implies C = 6

Passo 6

Substituindo C na expressão geral, encontramos
e^y = t^22 + 6

Resposta

y(t)=\ln\bigl(\tfrac{t^2}{2}+6\bigr)

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