Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e, em caso afirmativo, determine um campo escalar potencial:
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo em e, caso seja, encontrar um potencial escalar
. Vamos usar a condição
(em domínio simplesmente conexo) e depois integrar as componentes para achar .
e pede para verificar se ele é conservativo em
(em domínio simplesmente conexo) e depois integrar as componentes para achar
Passo 2
Calcular o rotacional
:
Calculando
e
,
vemos que a diferença é zero. Portanto
,
logo é conservativo.
e
vemos que a diferença é zero. Portanto
logo
Passo 3
Procurar
tal que
. Começamos por
.
Integrando em relação a :
Integrando em relação a
onde
independe de
.
Passo 4
Impor
.
Da expressão de :
Da expressão de
Para coincidir com
, deve ser
, logo
.
Passo 5
Impor
.
Como , temos
, então
Como
Assim um potencial é
Resposta
O campo é conservativo e um potencial escalar é