Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e, em caso afirmativo, determine um campo escalar potencial:
\vec{F}(x, y, z)=\left(y \cos x y+y e^{x y}\right) \vec{i}+\left(x \cos x y+x e^{x y}\right) \vec{j}+\vec{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\displaystyle \vec F(x,y,z) = \bigl(y\cos(xy)+y e^{xy}\bigr)\,\mathbf i + \bigl(x\cos(xy)+x e^{xy}\bigr)\,\mathbf j + \mathbf k
e pede para verificar se ele é conservativo em \mathbb R^3 e, caso seja, encontrar um potencial escalar f. Vamos usar a condição
\nabla \times \vec F = \vec 0
(em domínio simplesmente conexo) e depois integrar as componentes para achar f.

Passo 2

Calcular o rotacional \nabla \times \vec F:
(\nabla \times \vec F)_1 = \frac{\partial}{\partial y}(1) - \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\cos(xy)+x e^{xy}\bigr) =0-0=0,
(\nabla \times \vec F)_2 = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(y\cos(xy)+y e^{xy}\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}(1) =0-0=0,
(\nabla \times \vec F)_3 = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos(xy)+x e^{xy}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos(xy)+y e^{xy}\bigr).
Calculando
\frac{\partial}{\partial x}(x\cos(xy)+x e^{xy}) = \cos(xy)-xy\sin(xy)+e^{xy}+xye^{xy}
e
\frac{\partial}{\partial y}(y\cos(xy)+y e^{xy}) = \cos(xy)-xy\sin(xy)+e^{xy}+xye^{xy},
vemos que a diferença é zero. Portanto
\nabla \times \vec F=\vec 0,
logo \vec F é conservativo.

Passo 3

Procurar f tal que \nabla f=\vec F. Começamos por
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = y\cos(xy)+y e^{xy}.
Integrando em relação a x:
f(x,y,z) = \int \bigl(y\cos(xy)+y e^{xy}\bigr)\,dx = \sin(xy) + e^{xy} + g(y,z),
onde g independe de x.

Passo 4

Impor
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x\cos(xy)+x e^{xy}.
Da expressão de f:
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cos(xy)+x e^{xy} + \frac{\partial g}{\partial y}.
Para coincidir com \vec F, deve ser \partial g/\partial y=0, logo g=g(z).

Passo 5

Impor
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=1.
Como f(x,y,z)=\sin(xy)+e^{xy}+g(z), temos g'(z)=1, então
g(z)=z + C.
Assim um potencial é
f(x,y,z)=\sin(xy) + e^{xy} + z + C.

Resposta

O campo é conservativo e um potencial escalar é
f(x,y,z)=\sin(xy)+e^{xy}+z+C.

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