Confirme que u é uma função potencial escalar de \vec{F} :
u(x, y, z)=x \sin z+y \sin x+z \sin y
e \quad \vec{F}(x, y, z)=(\sin z+y \cos x) \vec{i}+(\sin x+z \cos y) \vec{j}+(x \cos z+\sin y) \vec{k}

Passo 1

O enunciado fornece a função
u(x,y,z)=x\sin z+y\sin x+z\sin y
e o campo vetorial
\vec F(x,y,z)=(\sin z+y\cos x)\,\vec i+(\sin x+z\cos y)\,\vec j+(x\cos z+\sin y)\,\vec k
e pede para confirmar que u é potencial escalar de \vec F. Isso significa verificar que
\nabla u=\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr)=\vec F.

Passo 2

Calculemos \frac{\partial u}{\partial x}. Como
u(x,y,z)=x\sin z+y\sin x+z\sin y,
temos
\frac{\partial u}{\partial x} =\sin z + y\cos x.
Isso coincide exatamente com a componente x de \vec F, que é \sin z+y\cos x.

Passo 3

Agora \frac{\partial u}{\partial y}. Diferenciando u em relação a y, vem
\frac{\partial u}{\partial y} =\sin x + z\cos y,
que é exatamente a componente y de \vec F, isto é, \sin x+z\cos y.

Passo 4

Por fim, calculemos \frac{\partial u}{\partial z}. Da definição de u,
\frac{\partial u}{\partial z} =x\cos z + \sin y,
e isso coincide com a componente z de \vec F, x\cos z+\sin y.

Resposta

Como todas as derivadas parciais de u coincidem com as componentes de \vec F, temos \nabla u=\vec F. Logo, u é de fato uma função potencial escalar de \vec F.

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