Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e, em caso afirmativo, determine um campo escalar potencial:
\vec{F}(x, y, z)=\left(2 x^{2} y^{2} z, 3 x^{2} y^{2} z, x^{2} y^{3}+y\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr)
com
P(x,y,z)=2x^{2}y^{2}z,\quad Q(x,y,z)=3x^{2}y^{2}z,\quad R(x,y,z)=x^{2}y^{3}+y,
e pede para verificar se é conservativo (isto é, se existe uma função escalar potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}). Em \mathbb{R}^{3} aberto e simplesmente conectado, basta checar se \nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias para o rotor:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}y^{2}z\bigr) =4\,x^{2}y\,z,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{2}z\bigr) =6\,x\,y^{2}\,z.

Passo 3

Comparando as duas componentes do rotor, vemos que
\frac{\partial P}{\partial y}=4x^{2}y\,z \neq 6x\,y^{2}z =\frac{\partial Q}{\partial x}.
Como já há uma desigualdade, \nabla\times\vec{F}\neq\vec{0} e, portanto, \vec{F} não é conservativo.

Resposta

\vec{F} não é conservativo, logo não existe potencial escalar \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}.

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