Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando.
Se a forma escalonada reduzida de uma matriz aumentada de um sistema linear tiver uma linha de zeros, então o sistema deve ter uma infinidade de soluções.
Passo 1
O enunciado pergunta se é verdade que “sempre que a forma escalonada reduzida da matriz aumentada de um sistema linear apresentar uma linha de zeros, o sistema terá infinitas soluções”. O conteúdo envolvido é a relação entre número de variáveis, posto (rank) da matriz de coeficientes e existência de soluções (única, nenhuma ou infinita). Vamos usar conceitos de pivôs, variáveis livres e equações redundantes.
Passo 2
Em uma forma escalonada reduzida, uma linha de zeros corresponde a uma equação do tipo
0x_1 + 0x_2 + \cdots + 0x_n = 0,
ou seja, é uma equação redundante que não impõe restrição extra. Ter essa linha significa que o número de pivôs (isto é, o posto da matriz de coeficientes) ficou menor ou igual ao número de variáveis, mas não garante por si só que haja variáveis livres suficientes para dar infinitas soluções.
Passo 3
Para ver que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo com uma variável e duas equações redundantes. Considere o sistema
Note que há uma linha de zeros, mas o sistema tem exatamente uma solução: x=2.
Passo 4
Em geral, zero na linha aumentada indica apenas equação redundante. Para ter infinitas soluções, além de linha de zeros você precisa que o posto da matriz de coeficientes seja estritamente menor que o número de incógnitas. No exemplo, havia linha de zeros, mas o posto era igual ao número de variáveis (posto =1, variáveis =1), gerando solução única.