Verifique as condições de Cauchy-Riemann para das funções:
f(z)=z^{2}-(3-2 i) z+5-5 i

Passo 1

O enunciado nos dá a função f e pede para verificar as condições de Cauchy-Riemann:
f(z)=z^{2}-(3-2 i) z+5-5 i.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é um polinômio em z.
  • O pedido é: achar as partes real e imaginária u(x,y) e v(x,y), calcular as derivadas parciais necessárias e verificar se
u_x=v_y\quad\text{e}\quad u_y=-v_x
para os pontos do plano complexo.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever z em coordenadas reais, z=x+iy, e expandir f(z) em termos de x e y.
Calculemos termo a termo.
Para z^{2} temos
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy+i^{2}y^{2}=(x^{2}-y^{2})+i(2xy).
Para -(3-2i)z faça o produto:
-(3-2i)z=-(3-2i)(x+iy).
Expandindo:
-(3-2i)(x+iy)= -3x -3iy +2ix +2i^{2}y =(-3x-2y)+i(2x-3y).
O termo constante é 5-5i.
Agora somando tudo:
f(z)=(x^{2}-y^{2})+i(2xy) + (-3x-2y)+i(2x-3y) + (5-5i).

Passo 3

Agrupando as partes real e imaginária, identificamos u(x,y) e v(x,y).
Parte real u(x,y):
u(x,y)=x^{2}-y^{2}-3x-2y+5.
Parte imaginária v(x,y):
v(x,y)=2xy+2x-3y-5.
Aqui, u e v são funções reais de duas variáveis x e y.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias. Vou mostrar cada derivada e explicar rapidamente como foi obtida (derivada parcial trata uma variável como variável e a outra como constante).
Derivadas de u:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-y^{2}-3x-2y+5\bigr)=2x-3,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y^{2}-3x-2y+5\bigr)=-2y-2.
Justificativa rápida: ao derivar em relação a x, termos que não dependem de x desaparecem; ao derivar -y^{2} em relação a x dá zero; derivada de x^{2} é 2x; de -3x é -3; de -2y é zero; de 5 é zero. Análogo para u_y.
Derivadas de v:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy+2x-3y-5\bigr)=2y+2,
v_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy+2x-3y-5\bigr)=2x-3.
Explicação: por exemplo, \partial(2xy)/\partial x = 2y porque trata y como constante; \partial(2x)/\partial x=2; etc.

Passo 5

Escrevemos as condições de Cauchy-Riemann e verificamos se elas são satisfeitas:
As condições são
u_x=v_y
e
u_y=-v_x.
Substituindo as derivadas que calculamos:
Para a primeira:
u_x=2x-3,\qquad v_y=2x-3,
logo
u_x=v_y\quad\text{(verdadeiro para todo \(x,y\))}.
Para a segunda:
u_y=-2y-2,\qquad -v_x=-(2y+2)=-2y-2,
logo
u_y=-v_x\quad\text{(também verdadeiro para todo \(x,y\))}.é
As igualdades valem para todos os pares (x,y), e as derivadas parciais são funções polinomiais (portanto contínuas). Isso garante que f é complexamente diferenciável em todo o plano (é holomorfa em \mathbb{C}).

Passo 6

Complemento prático: calcular a derivada complexa f'(z). Pode-se usar a regra
f'(z)=u_x+i v_x,
ou derivar o polinômio diretamente.
Usando u_x e v_x:
f'(z)=u_x+i v_x=(2x-3)+i(2y+2)=2(x+iy)-3+2i=2z-(3-2i).
Verificação rápida derivando f(z) como polinômio: \dfrac{d}{dz}\bigl(z^{2}\bigr)=2z e \dfrac{d}{dz}\bigl(-(3-2i)z\bigr)=-(3-2i), constantes desaparecem, resultando na mesma expressão.

Resposta

As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo \mathbb{C}.
A função f é holomorfa em todo \mathbb{C} e f'(z)=2z-(3-2i).

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