Verifique as condições de Cauchy-Riemann para das funções:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar as condições de Cauchy-Riemann:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é um polinômio em
. - O pedido é: achar as partes real e imaginária
e , calcular as derivadas parciais necessárias e verificar se
para os pontos do plano complexo.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever
em coordenadas reais,
, e expandir
em termos de
e
.
Calculemos termo a termo.
Para
temos
Para
faça o produto:
Expandindo:
O termo constante é
.
Agora somando tudo:
Passo 3
Agrupando as partes real e imaginária, identificamos
e
.
Parte real
:
Parte imaginária
:
Aqui,
e
são funções reais de duas variáveis
e
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias. Vou mostrar cada derivada e explicar rapidamente como foi obtida (derivada parcial trata uma variável como variável e a outra como constante).
Derivadas de
:
Justificativa rápida: ao derivar em relação a
, termos que não dependem de
desaparecem; ao derivar
em relação a
dá zero; derivada de
é
; de
é
; de
é zero; de
é zero. Análogo para
.
Derivadas de
:
Explicação: por exemplo,
porque trata
como constante;
; etc.
Passo 5
Escrevemos as condições de Cauchy-Riemann e verificamos se elas são satisfeitas:
As condições são
e
Substituindo as derivadas que calculamos:
Para a primeira:
logo
Para a segunda:
logo
As igualdades valem para todos os pares
, e as derivadas parciais são funções polinomiais (portanto contínuas). Isso garante que
é complexamente diferenciável em todo o plano (é holomorfa em
).
Passo 6
Complemento prático: calcular a derivada complexa
. Pode-se usar a regra
ou derivar o polinômio diretamente.
Usando
e
:
Verificação rápida derivando
como polinômio:
e
, constantes desaparecem, resultando na mesma expressão.
Resposta
As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo
.
A função é holomorfa em todo
e
.
A função