verifique se o conjunto de funções dadas são linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes determine a relação de dependência entre elas.
2 x-3,2 x^{2}+1,3 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede para:
  • Verificar se as funções 2x-3, 2x^{2}+1 e 3x^{2}+x são linearmente independentes.
  • Se forem linearmente dependentes, determinar a relação de dependência entre elas.
Informações dadas:
  • As três funções são f_{1}(x)=2x-3, f_{2}(x)=2x^{2}+1 e f_{3}(x)=3x^{2}+x.
  • Devemos decidir independência linear e, em caso negativo, fornecer coeficientes não todos nulos que anulem a combinação linear.

Passo 2

Definição útil (explicada com calma):
  • Dizemos que funções f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente independentes se a única solução \alpha,\beta,\gamma para a igualdade
\alpha f_{1}(x)+\beta f_{2}(x)+\gamma f_{3}(x)=0\quad\text{para todo }x
é \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente não nulo, as funções são linearmente dependentes.
  • Observação prática: quando trabalhamos com polinômios, a igualdade de polinômios para todo x ocorre exatamente quando os coeficientes de x^{2}, x e a constante são iguais a zero (porque dois polinômios são idênticos se e só se todos os coeficientes correspondentes são iguais).

Passo 3

Vamos escrever a combinação linear geral com coeficientes \alpha,\beta,\gamma:
\alpha(2x-3)+\beta(2x^{2}+1)+\gamma(3x^{2}+x)=0\quad\text{para todo }x.
Nosso objetivo é achar todas as tripletas (\alpha,\beta,\gamma) que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Expandimos a expressão e agrupamos termos por potências de x:
\alpha(2x-3)=2\alpha x-3\alpha,
\beta(2x^{2}+1)=2\beta x^{2}+\beta,
\gamma(3x^{2}+x)=3\gamma x^{2}+\gamma x.
Somando tudo:
(2\beta+3\gamma)\,x^{2} + (2\alpha+\gamma)\,x + (-3\alpha+\beta)=0.

Passo 5

Igualando coeficientes (pois o polinômio à esquerda deve ser o polinômio zero para todo x), obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 2\beta+3\gamma=0,\\[4pt] 2\alpha+\gamma=0,\\[4pt] -3\alpha+\beta=0. \end{cases}]

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da segunda equação temos
\gamma=-2\alpha.
Da terceira equação temos
\beta=3\alpha.
Substituímos \beta e \gamma na primeira equação:
2(3\alpha)+3(-2\alpha)=6\alpha-6\alpha=0,
que é uma identidade verdadeira. Isso mostra que as três equações não forçam \alpha a ser zero: temos uma família de soluções parametrizada por \alpha. Ou seja, existe uma infinidade de soluções, todas proporcionais a uma solução não nula.
Escolhendo a parametrização simples \alpha=1 obtemos
\beta=3,\qquad \gamma=-2.

Passo 7

Verificação direta da relação encontrada (sempre bom checar):
(2x-3)+3(2x^{2}+1)-2(3x^{2}+x)
Calculando termo a termo:
=2x-3 +6x^{2}+3 -6x^{2}-2x = (6x^{2}-6x^{2})+(2x-2x)+(-3+3)=0.
Portanto a combinação realmente é o polinômio zero.

Passo 8

Conclusão didática:
  • Encontramos uma combinação linear não trivial que anula as funções, logo as funções são linearmente dependentes.
  • A relação de dependência pode ser escrita com os coeficientes \alpha=1,\beta=3,\gamma=-2 como
(2x-3)+3(2x^{2}+1)-2(3x^{2}+x)=0.
  • Dica prática para a prova: para funções polinomiais sempre monte a combinação linear geral, agrupe por potências de x, equacione coeficientes e resolva o sistema; se o sistema tiver alguma variável livre (solução não-trivial), há dependência.

Resposta

As funções são linearmente dependentes.
Relação de dependência: (2x-3)+3(2x^{2}+1)-2(3x^{2}+x)=0

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