verifique se o conjunto de funções dadas são linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes determine a relação de dependência entre elas.
2 x-3,2 x^{2}+1,3 x^{2}+x
Passo 1
O enunciado pede para:
Verificar se as funções 2x-3, 2x^{2}+1 e 3x^{2}+x são linearmente independentes.
Se forem linearmente dependentes, determinar a relação de dependência entre elas.
Informações dadas:
As três funções são f_{1}(x)=2x-3, f_{2}(x)=2x^{2}+1 e f_{3}(x)=3x^{2}+x.
Devemos decidir independência linear e, em caso negativo, fornecer coeficientes não todos nulos que anulem a combinação linear.
Passo 2
Definição útil (explicada com calma):
Dizemos que funções f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente independentes se a única solução \alpha,\beta,\gamma para a igualdade
\alpha f_{1}(x)+\beta f_{2}(x)+\gamma f_{3}(x)=0\quad\text{para todo }x
é \alpha=\beta=\gamma=0.
Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente não nulo, as funções são linearmente dependentes.
Observação prática: quando trabalhamos com polinômios, a igualdade de polinômios para todo x ocorre exatamente quando os coeficientes de x^{2}, x e a constante são iguais a zero (porque dois polinômios são idênticos se e só se todos os coeficientes correspondentes são iguais).
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear geral com coeficientes \alpha,\beta,\gamma:
\alpha(2x-3)+\beta(2x^{2}+1)+\gamma(3x^{2}+x)=0\quad\text{para todo }x.
Nosso objetivo é achar todas as tripletas (\alpha,\beta,\gamma) que satisfazem essa igualdade.
Passo 4
Expandimos a expressão e agrupamos termos por potências de x:
que é uma identidade verdadeira. Isso mostra que as três equações não forçam \alpha a ser zero: temos uma família de soluções parametrizada por \alpha. Ou seja, existe uma infinidade de soluções, todas proporcionais a uma solução não nula.
Escolhendo a parametrização simples \alpha=1 obtemos
\beta=3,\qquad \gamma=-2.
Passo 7
Verificação direta da relação encontrada (sempre bom checar):
Portanto a combinação realmente é o polinômio zero.
Passo 8
Conclusão didática:
Encontramos uma combinação linear não trivial que anula as funções, logo as funções são linearmente dependentes.
A relação de dependência pode ser escrita com os coeficientes \alpha=1,\beta=3,\gamma=-2 como
(2x-3)+3(2x^{2}+1)-2(3x^{2}+x)=0.
Dica prática para a prova: para funções polinomiais sempre monte a combinação linear geral, agrupe por potências de x, equacione coeficientes e resolva o sistema; se o sistema tiver alguma variável livre (solução não-trivial), há dependência.
Resposta
As funções são linearmente dependentes.
Relação de dependência: (2x-3)+3(2x^{2}+1)-2(3x^{2}+x)=0