verifique se o conjunto de funções dadas são linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes determine a relação de dependência entre elas.
2 x-3, x^{2}+1,2 x^{2}-x, x^{2}+x+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
f_1(x)=2x-3,\quad f_2(x)=x^{2}+1,\quad f_3(x)=2x^{2}-x,\quad f_4(x)=x^{2}+x+1
é linearmente independente. Se for linearmente dependente, devo determinar uma relação de dependência entre elas (isto é, encontrar coeficientes não todos nulos a,b,c,d tais que uma combinação linear dá a função zero para todo x).

Passo 2

Definição e estratégia (explicação didática): as funções são polinômios de grau no máximo 2. Dizemos que são linearmente independentes se a única solução do sistema
a\,f_1(x)+b\,f_2(x)+c\,f_3(x)+d\,f_4(x)=0\quad\text{para todo }x
é a=b=c=d=0. Caso contrário são dependentes. Para polinômios, a equação acima significa que um polinômio de grau ≤2 é identicamente zero; isso acontece exatamente quando todos os coeficientes (do termo x^2, do termo x e do termo constante) são zero. Então vou escrever a combinação, agrupar por potências de x e impor que os coeficientes sejam zero, obtendo um sistema linear em a,b,c,d.

Passo 3

Escrevo a combinação linear igual a zero e desenvolvo:
a(2x-3)+b(x^{2}+1)+c(2x^{2}-x)+d(x^{2}+x+1)=0\quad\text{para todo }x.
Expando e agrupando por potências de x:
Termo em x^{2}:
\underbrace{b+2c+d}_{\text{coef. de }x^{2}}x^{2}
Termo em x:
\underbrace{2a - c + d}_{\text{coef. de }x}x
Termo constante:
\underbrace{-3a + b + d}_{\text{constante}}.
Como o polinômio deve ser o polinômio zero para todo x, cada coeficiente deve ser zero. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} b+2c+d=0,\\[4pt] 2a-c+d=0,\\[4pt] -3a+b+d=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema (metodicamente e explicando cada passo):
Temos 3 equações para 4 incógnitas, então esperamos soluções não triviais (grau de liberdade ≥1). Faço eliminação paramétrica: tomo c=t como parâmetro livre.
Da primeira equação:
b = -2c - d = -2t - d.
Da segunda equação:
2a = c - d = t - d \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{t-d}{2}.
Substituo a e b na terceira equação:
-3a + b + d = 0.
Substituindo a e b:
-3\left(\dfrac{t-d}{2}\right) + \left(-2t - d\right) + d = 0.
Faço as contas passo a passo:
- \dfrac{3(t-d)}{2} -2t - d + d = 0 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{3t - 3d}{2} -2t = 0.
Multiplico por 2 para ficar sem frações:
-(3t - 3d) -4t = 0 \quad\Rightarrow\quad -3t +3d -4t = 0.
Assim:
3d -7t = 0 \quad\Rightarrow\quad d = \dfrac{7}{3}t.
Agora retorno para a e b:
a = \dfrac{t - d}{2} = \dfrac{t - \tfrac{7}{3}t}{2} = \dfrac{\left(1-\tfrac{7}{3}\right)t}{2} = \dfrac{\left(-\tfrac{4}{3}\right)t}{2} = -\dfrac{2}{3}t.
b = -2t - d = -2t - \tfrac{7}{3}t = -\tfrac{6}{3}t - \tfrac{7}{3}t = -\tfrac{13}{3}t.
E por hipótese c=t.
Portanto a família de soluções é
\left(a,b,c,d\right)=\left(-\dfrac{2}{3}t,\; -\dfrac{13}{3}t,\; t,\; \dfrac{7}{3}t\right),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Obtenho uma solução não trivial escolhendo um valor conveniente para t. Para eliminar frações tomo t=3. Então
a=-2,\quad b=-13,\quad c=3,\quad d=7.
Isso fornece a relação de dependência linear com coeficientes inteiros:
-2(2x-3)-13(x^{2}+1)+3(2x^{2}-x)+7(x^{2}+x+1)=0\quad\text{para todo }x.
Posso verificar rapidamente expandindo os termos do lado esquerdo: os coeficientes em x^{2}, x e constante somam zero (verificação direta possível), confirmando que a combinação é o polinômio zero.

Passo 6

Conclusão didática e interpretação: encontramos coeficientes não todos nulos que tornam a combinação linear igual a zero para todo x, logo as funções são linearmente dependentes. A relação encontrada é uma dependência explícita entre as quatro funções; qualquer múltiplo da tupla (-2,-13,3,7) também funciona, dado o parâmetro t.

Resposta

As funções são linearmente dependentes. Relação de dependência:
-2(2x-3)-13(x^{2}+1)+3(2x^{2}-x)+7(x^{2}+x+1)=0.

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