Verifique se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente em
nos seguintes casos:
Passo 1
Estamos no espaço vetorial
e queremos verificar se o conjunto \r
é linearmente independente. Pela definição, devemos checar se a única combinação \r
que é identicamente zero em
satisfaz
. Como todas as três funções são diferenciáveis, usaremos derivações para obter relações adicionais.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,\r
Passo 3
Derivando a identidade acima em relação a
, obtemos\r
Passo 4
Derivando uma segunda vez, vem\r
ou seja,\r
Passo 5
A única forma de a função
ser identicamente zero em
é ter \r
e
. Substituindo isso em
dá
. Logo \r
, ou seja, só a combinação trivial anula-se.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.