Verifique se o conjunto de funções \mathcal{B} é linearmente dependente ou independente em \mathcal{C}(\mathbb{R}) nos seguintes casos:
\mathcal{B}=\{x, \cos (x), \operatorname{sen}(x)\}\

Passo 1

Estamos no espaço vetorial \mathcal{C}(\mathbb{R}) e queremos verificar se o conjunto \r \mathcal{B}=\{x,\cos(x),\sin(x)\} é linearmente independente. Pela definição, devemos checar se a única combinação \r \alpha\,x+\beta\,\cos(x)+\gamma\,\sin(x) que é identicamente zero em \mathbb{R} satisfaz \alpha=\beta=\gamma=0. Como todas as três funções são diferenciáveis, usaremos derivações para obter relações adicionais.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que, para todo x\in\mathbb{R},\r
\alpha\,x \;+\;\beta\,\cos(x)\;+\;\gamma\,\sin(x)\;=\;0.

Passo 3

Derivando a identidade acima em relação a x, obtemos\r
\alpha \;-\;\beta\,\sin(x)\;+\;\gamma\,\cos(x)\;=\;0.

Passo 4

Derivando uma segunda vez, vem\r
-\beta\,\cos(x)\;-\;\gamma\,\sin(x)\;=\;0,\r
ou seja,\r
\beta\,\cos(x)\;+\;\gamma\,\sin(x)\;=\;0 \quad\forall\,x.

Passo 5

A única forma de a função \beta\cos(x)+\gamma\sin(x) ser identicamente zero em \mathbb{R} é ter \r \beta=0 e \gamma=0. Substituindo isso em \alpha -\beta\sin(x)+\gamma\cos(x)=0 \alpha=0. Logo \r \alpha=\beta=\gamma=0, ou seja, só a combinação trivial anula-se.

Resposta

O conjunto \{x,\cos(x),\sin(x)\} é linearmente independente em \mathcal{C}(\mathbb{R}).

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