Verifique se o conjunto \mathbb{R}^{2}, munido das operações usuais, é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se o conjunto \mathbb{R}^{2}, com as operações usuais (soma componente a componente e multiplicação escalar componente a componente), é um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.
Informações dadas (peguei isto do enunciado):
  • O conjunto é \mathbb{R}^{2} = \{(x,y) \mid x\in\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}\}.
  • A operação de soma é a soma usual em \mathbb{R}^{2}: para (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2}, (x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}).
  • A operação de multiplicação por escalar é a multiplicação usual: para a\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, a\cdot(x,y) = (a x,\, a y).
  • O corpo sobre o qual se quer verificar o espaço vetorial é \mathbb{R}.
O que preciso mostrar: todas as propriedades (axiomas) exigidas para um espaço vetorial sobre \mathbb{R} são satisfeitas por \mathbb{R}^{2} com essas operações.

Passo 2

Lista clara dos axiomas que vou verificar. Para um conjunto V com operações + e multiplicação por escalar (com escalares em \mathbb{R}), os axiomas que definem um espaço vetorial são (aqui explico o que cada símbolo significa):
  • A1 (fechamento da adição): para todo u,v\in V, u+v\in V.
  • A2 (comutatividade da adição): para todo u,v\in V, u+v=v+u.
  • A3 (associatividade da adição): para todo u,v,w\in V, (u+v)+w = u+(v+w).
  • A4 (existe vetor nulo): existe 0_V\in V tal que u+0_V = u para todo u\in V.
  • A5 (existência de inverso aditivo): para cada u\in V existe -u\in V com u+(-u)=0_V.
  • A6 (fechamento da multiplicação por escalar): para todo a\in\mathbb{R} e u\in V, a u \in V.
  • A7 (distributividade escalar sobre soma de vetores): para todo a\in\mathbb{R} e u,v\in V, a(u+v)=au+av.
  • A8 (distributividade sobre soma de escalares): para todo a,b\in\mathbb{R} e u\in V, (a+b)u = au + bu.
  • A9 (associatividade entre escalares): para todo a,b\in\mathbb{R} e u\in V, a(bu)=(ab)u.
  • A10 (elemento escalar identidade): para todo u\in V, 1\cdot u = u (onde 1 é o elemento unidade em \mathbb{R}).
Vou verificar cada um desses axiomas para V=\mathbb{R}^{2} usando as operações usuais definidas no Passo 1. Sempre que eu usar propriedades das operações em \mathbb{R} (como comutatividade ou distributividade), vou mencionar explicitamente.

Passo 3

Verificação do A1 (fechamento da adição).
Sejam (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2}. Pela definição da soma em \mathbb{R}^{2},
(x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}).
Como x_{1}+x_{2}\in\mathbb{R} e y_{1}+y_{2}\in\mathbb{R} (fechamento da soma em \mathbb{R}), o par (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}) pertence a \mathbb{R}^{2}. Logo a soma de dois vetores de \mathbb{R}^{2} está em \mathbb{R}^{2}. A1 verificado.

Passo 4

Verificação do A2 (comutatividade da adição).
Para (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2},
(x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}).
Pelo fato de que a soma em \mathbb{R} é comutativa ( x_{1}+x_{2}=x_{2}+x_{1} e y_{1}+y_{2}=y_{2}+y_{1}), obtemos
(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) = (x_{2}+x_{1},\,y_{2}+y_{1}) = (x_{2},y_{2}) + (x_{1},y_{1}).
Portanto (x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2}) = (x_{2},y_{2}) + (x_{1},y_{1}). A2 verificado.

Passo 5

Verificação do A3 (associatividade da adição).
Tomemos (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), (x_{3},y_{3})\in\mathbb{R}^{2}. Calculo o lado esquerdo:
\bigl((x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2})\bigr) + (x_{3},y_{3}) = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) + (x_{3},y_{3}) = \bigl((x_{1}+x_{2})+x_{3},\; (y_{1}+y_{2})+y_{3}\bigr).
O lado direito é
(x_{1},y_{1}) + \bigl((x_{2},y_{2}) + (x_{3},y_{3})\bigr) = (x_{1},y_{1}) + (x_{2}+x_{3},\,y_{2}+y_{3}) = \bigl(x_{1}+(x_{2}+x_{3}),\; y_{1}+(y_{2}+y_{3})\bigr).
Como a soma em \mathbb{R} é associativa, (x_{1}+x_{2})+x_{3} = x_{1}+(x_{2}+x_{3}) e análogamente para as segundas componentes. Assim os dois lados coincidem. A3 verificado.

Passo 6

Verificação do A4 (existência do vetor nulo).
Procuro um 0_{\mathbb{R}^2}\in\mathbb{R}^{2} tal que para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2},
(x,y) + 0_{\mathbb{R}^2} = (x,y).
Experimente 0_{\mathbb{R}^2} = (0,0), onde 0 é o zero em \mathbb{R}. Então
(x,y) + (0,0) = (x+0,\,y+0) = (x,y),
pois x+0=x e y+0=y em \mathbb{R}. Logo 0_{\mathbb{R}^2}=(0,0) é o vetor nulo. A4 verificado.

Passo 7

Verificação do A5 (existência do inverso aditivo).
Dado (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, proponho o inverso aditivo -(x,y)=(-x,-y). Verifico:
(x,y) + (-x,-y) = (x+(-x),\,y+(-y)) = (0,0),
porque x+(-x)=0 e y+(-y)=0 em \mathbb{R}. Assim para todo vetor existe um inverso aditivo em \mathbb{R}^{2}. A5 verificado.

Passo 8

Verificação do A6 (fechamento da multiplicação por escalar).
Seja a\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Pela definição,
a\cdot(x,y) = (a x,\, a y).
Como a x\in\mathbb{R} e a y\in\mathbb{R} (fechamento da multiplicação em \mathbb{R}), temos (a x, a y)\in\mathbb{R}^{2}. Portanto a multiplicação por escalar permanece em \mathbb{R}^{2}. A6 verificado.

Passo 9

Verificação do A7 (distributividade do escalar sobre soma de vetores): a(u+v)=au+av.
Sejam a\in\mathbb{R} e u=(x_{1},y_{1}), v=(x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2}. O lado esquerdo é
a(u+v)=a(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) = \bigl(a(x_{1}+x_{2}),\; a(y_{1}+y_{2})\bigr).
Pelo distributivo em \mathbb{R}, a(x_{1}+x_{2}) = a x_{1} + a x_{2} e a(y_{1}+y_{2}) = a y_{1} + a y_{2}. Assim
a(u+v) = \bigl(a x_{1}+a x_{2},\; a y_{1}+a y_{2}\bigr).
O lado direito é
au + av = (a x_{1},a y_{1}) + (a x_{2},a y_{2}) = \bigl(a x_{1}+a x_{2},\; a y_{1}+a y_{2}\bigr).
Portanto a(u+v)=au+av. A7 verificado.

Passo 10

Verificação do A8 (distributividade sobre soma de escalares): (a+b)u = au + bu.
Sejam a,b\in\mathbb{R} e u=(x,y)\in\mathbb{R}^{2}. O lado esquerdo é
(a+b)u = ((a+b)x,\; (a+b)y).
Pelo distributivo em \mathbb{R}, (a+b)x = a x + b x e (a+b)y = a y + b y. Então
(a+b)u = (a x + b x,\; a y + b y).
O lado direito é
au + bu = (a x, a y) + (b x, b y) = (a x + b x,\; a y + b y).
Logo (a+b)u = au + bu. A8 verificado.

Passo 11

Verificação do A9 (associatividade entre escalares): a(bu) = (ab)u.
Sejam a,b\in\mathbb{R} e u=(x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Primeiro calcule b u = (b x, b y). Então
a(bu) = a(b x, b y) = (a(b x),\; a(b y)) = ((ab) x,\; (ab) y),
usando associatividade da multiplicação em \mathbb{R} (ou seja, a(bx)=(ab)x). Por outro lado,
(ab)u = ((ab) x,\; (ab) y).
Assim a(bu)=(ab)u. A9 verificado.

Passo 12

Verificação do A10 (elemento escalar identidade): 1\cdot u = u.
Seja u=(x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Como 1\in\mathbb{R} é a unidade multiplicativa, temos
1\cdot (x,y) = (1\cdot x,\,1\cdot y) = (x,y).
Portanto 1\cdot u = u para todo u\in\mathbb{R}^{2}. A10 verificado.

Passo 13

Resumo do que foi feito (passos verificados): mostrei explicitamente que as operações usuais em \mathbb{R}^{2} satisfazem fechamento da soma e da multiplicação por escalar, comutatividade e associatividade da soma, existência do vetor nulo (0,0) e de inversos aditivos (-x,-y), as duas propriedades distributivas, a compatibilidade de multiplicações escalares e a ação do escalar identidade. Todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre \mathbb{R} foram verificadas para \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Sim, \mathbb{R}^{2} com as operações usuais é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Exercícios relacionados