Verifique se o conjunto
, munido das operações usuais, é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se o conjunto
, com as operações usuais (soma componente a componente e multiplicação escalar componente a componente), é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Informações dadas (peguei isto do enunciado):
- O conjunto é
. - A operação de soma é a soma usual em
: para , - A operação de multiplicação por escalar é a multiplicação usual: para
e , - O corpo sobre o qual se quer verificar o espaço vetorial é
.
O que preciso mostrar: todas as propriedades (axiomas) exigidas para um espaço vetorial sobre
são satisfeitas por
com essas operações.
Passo 2
Lista clara dos axiomas que vou verificar. Para um conjunto
com operações
e multiplicação por escalar (com escalares em
), os axiomas que definem um espaço vetorial são (aqui explico o que cada símbolo significa):
- A1 (fechamento da adição): para todo
, . - A2 (comutatividade da adição): para todo
, . - A3 (associatividade da adição): para todo
, . - A4 (existe vetor nulo): existe
tal que para todo . - A5 (existência de inverso aditivo): para cada
existe com . - A6 (fechamento da multiplicação por escalar): para todo
e , . - A7 (distributividade escalar sobre soma de vetores): para todo
e , . - A8 (distributividade sobre soma de escalares): para todo
e , . - A9 (associatividade entre escalares): para todo
e , . - A10 (elemento escalar identidade): para todo
, (onde é o elemento unidade em ).
Vou verificar cada um desses axiomas para
usando as operações usuais definidas no Passo 1. Sempre que eu usar propriedades das operações em
(como comutatividade ou distributividade), vou mencionar explicitamente.
Passo 3
Verificação do A1 (fechamento da adição).
Sejam
. Pela definição da soma em
,
Como
e
(fechamento da soma em
), o par
pertence a
. Logo a soma de dois vetores de
está em
. A1 verificado.
Passo 4
Verificação do A2 (comutatividade da adição).
Para
,
Pelo fato de que a soma em
é comutativa (
e
), obtemos
Portanto
. A2 verificado.
Passo 5
Verificação do A3 (associatividade da adição).
Tomemos
. Calculo o lado esquerdo:
O lado direito é
Como a soma em
é associativa,
e análogamente para as segundas componentes. Assim os dois lados coincidem. A3 verificado.
Passo 6
Verificação do A4 (existência do vetor nulo).
Procuro um
tal que para todo
,
Experimente
, onde
é o zero em
. Então
pois
e
em
. Logo
é o vetor nulo. A4 verificado.
Passo 7
Verificação do A5 (existência do inverso aditivo).
Dado
, proponho o inverso aditivo
. Verifico:
porque
e
em
. Assim para todo vetor existe um inverso aditivo em
. A5 verificado.
Passo 8
Verificação do A6 (fechamento da multiplicação por escalar).
Seja
e
. Pela definição,
Como
e
(fechamento da multiplicação em
), temos
. Portanto a multiplicação por escalar permanece em
. A6 verificado.
Passo 9
Verificação do A7 (distributividade do escalar sobre soma de vetores):
.
Sejam
e
. O lado esquerdo é
Pelo distributivo em
,
e
. Assim
O lado direito é
Portanto
. A7 verificado.
Passo 10
Verificação do A8 (distributividade sobre soma de escalares):
.
Sejam
e
. O lado esquerdo é
Pelo distributivo em
,
e
. Então
O lado direito é
Logo
. A8 verificado.
Passo 11
Verificação do A9 (associatividade entre escalares):
.
Sejam
e
. Primeiro calcule
. Então
usando associatividade da multiplicação em
(ou seja,
). Por outro lado,
Assim
. A9 verificado.
Passo 12
Verificação do A10 (elemento escalar identidade):
.
Seja
. Como
é a unidade multiplicativa, temos
Portanto
para todo
. A10 verificado.
Passo 13
Resumo do que foi feito (passos verificados): mostrei explicitamente que as operações usuais em
satisfazem fechamento da soma e da multiplicação por escalar, comutatividade e associatividade da soma, existência do vetor nulo
e de inversos aditivos
, as duas propriedades distributivas, a compatibilidade de multiplicações escalares e a ação do escalar identidade. Todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre
foram verificadas para
.
Resposta
Sim,
com as operações usuais é um espaço vetorial sobre
.