Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b & a\end{array}\right) ; a, b \in \mathbb{R}\right\} \quad V=M_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado define
S = \left\{\,\begin{pmatrix}a & b\\\\ -b & a\end{pmatrix} ; a,b\in\mathbb{R}\right\}
como subconjunto de V = M_{2}(\mathbb{R}). O conteúdo aqui é verificação de subespaço vetorial e, em caso afirmativo, determinação de conjunto gerador, base e dimensão de S. Para isso precisamos usar a definição de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de V,
0_V = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
está em S ao escolher a=0 e b=0. Logo 0_V\in S.

Passo 3

Verificamos a estabilidade de S sob soma e escalar. Se
X = \begin{pmatrix}a_1 & b_1\\\\ -b_1 & a_1\end{pmatrix},\quad Y = \begin{pmatrix}a_2 & b_2\\\\ -b_2 & a_2\end{pmatrix}
e \lambda\in\mathbb{R}, então
X+Y = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\\\ -(b_1+b_2) & a_1+a_2\end{pmatrix}\in S,
\lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a_1 & \lambda b_1\\\\ -\lambda b_1 & \lambda a_1\end{pmatrix}\in S.
Logo S é subespaço vetorial de V.

Passo 4

Para gerar qualquer elemento de S escrevemos
\begin{pmatrix}a & b\\\\ -b & a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
Assim um conjunto gerador de S é
\left\{\,E = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\; F = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}\right\}.

Passo 5

Verificamos que E e F são linearmente independentes. Se existir \alpha,\beta tais que
\alpha E + \beta F = \begin{pmatrix}\alpha & \beta\\\\ -\beta & \alpha\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
então \alpha=0 e \beta=0. Logo \{E,F\} é base de S. A dimensão de S é o número de vetores dessa base, ou seja,
\dim(S)=2.

Resposta

S é subespaço vetorial de V.
Conjunto gerador:
\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}\right\}.
Uma base de S:
\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}\right\}.
Dimensão de S: \,2.

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