Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S. S=\left\{\left(\begin{array}{l}a \\\ b \\\ b\end{array}\right) ; a \geq b\right\} \quad V=M_{3 \times 1}(\mathbb{R})
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
V = M_{3\times1}(\mathbb{R})
e o subconjunto
S = \bigl\{(a,b,b)^{T} \mid a \ge b\bigr\}.
Para ser subespaço vetorial de V, S deve conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a existência do vetor zero em S. O vetor zero em V é
(0,0,0)^{T},
e satisfaz 0 \ge 0. Portanto (0,0,0)^{T}\in S.
Passo 3
Testamos a fechadura em multiplicação por escalar. Seja
v = (1,0,0)^{T}\in S
pois 1 \ge 0. Para o escalar \lambda = -1,
\lambda v = (-1,0,0)^{T}.
Mas -1 \ge 0 é falso, logo \lambda v \notin S. Assim, S não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
S não é subespaço vetorial de V. Portanto não faz sentido determinar gerador, base ou dimensão.