Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) ; a+b+c+d=0\right\} \quad V=M_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado define
S = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid a + b + c + d = 0\right\},
e pede para verificar se S é subespaço de V=M_{2}(\mathbb{R}). Caso seja, determinar um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão.

Passo 2

Verificamos as propriedades de subespaço:
  1. A matriz zero \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} satisfaz 0+0+0+0=0, logo está em S.
  2. Se X,Y\in S, com entradas somando zero, então as entradas de X+Y somam (\text{soma de }X)+(\text{soma de }Y)=0+0=0, logo X+Y\in S.
  3. Se X\in S e \lambda\in\mathbb{R}, as entradas de \lambda X somam \lambda\cdot0=0, logo \lambda X\in S.
    Portanto S é subespaço de V.

Passo 3

Para encontrar um gerador, parametrizamos \displaystyle M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in S de modo que a+b+c+d=0.
Isto dá
d = -\bigl(a+b+c\bigr),
então
M = \begin{pmatrix} a & b\\\ c & -\!(a+b+c) \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&-1\end{pmatrix}.

Passo 4

Os três matrizes
E_1 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&-1\end{pmatrix}
geram S. Como são claramente linearmente independentes (cada um tem positividade única em uma entrada), formam uma base de S.

Passo 5

Concluímos que \{E_1,E_2,E_3\} é base de S. Logo a dimensão de S é
\dim(S) = 3.

Resposta

Sim, S é subespaço de M_{2}(\mathbb{R}).
Um conjunto gerador é \{E_1,E_2,E_3\} com
E_1 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},\; E_2 = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix},\; E_3 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&-1\end{pmatrix}.
Essa família é uma base de S e \dim(S)=3.

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