Verifique se o conjunto
abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é subespaço de
. Caso seja, determinar um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão.
Passo 2
Verificamos as propriedades de subespaço:
- A matriz zero
satisfaz , logo está em . - Se
, com entradas somando zero, então as entradas de somam , logo . - Se
e , as entradas de somam , logo .
Portantoé subespaço de .
Passo 3
Para encontrar um gerador, parametrizamos
de modo que
.
Isto dá
Isto dá
então
Passo 4
Os três matrizes
geram
. Como são claramente linearmente independentes (cada um tem positividade única em uma entrada), formam uma base de
.
Passo 5
Concluímos que
é base de
. Logo a dimensão de
é
Resposta
Sim,
é subespaço de
.
Um conjunto gerador é com
Um conjunto gerador é
Essa família é uma base de
e
.