Verifique se o conjunto
abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de , e, em caso afirmativo, determinar um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
.
Conteúdo: subespaços definidos por equações lineares homogêneas, verificação de condições de subespaço e obtenção de parametrização.
é subespaço de
Conteúdo: subespaços definidos por equações lineares homogêneas, verificação de condições de subespaço e obtenção de parametrização.
Passo 2
Mostramos que
satisfaz as três condições de subespaço vetorial:
- Vetor zero: para
temos , logo . - Fechamento em soma: se
e satisfazem a equação, então
logo a soma está em
.
3. Fechamento em escalar: para e
,
3. Fechamento em escalar: para
logo
.
Logo, é subespaço de
.
Logo,
Passo 3
Para obter um gerador, parametrizamos a equação
Então todo vetor de
tem a forma
Passo 4
Da parametrização vemos que
gera
.
Para verificar que é base, note que nenhum dos vetores é múltiplo escalar do outro, logo são LI.
Portanto essa dupla é base de e
.
Para verificar que é base, note que nenhum dos vetores é múltiplo escalar do outro, logo são LI.
Portanto essa dupla é base de
Resposta
Sim,
é subespaço de
.
Um gerador de é
.
Uma base de é
.
.
Um gerador de
Uma base de