Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\left\{A \in M_{3}(\mathbb{R}) ; A\right. é uma matriz diagonal \} V=M_{3}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M_3(\mathbb{R}) e o subconjunto
S = \{A \in M_3(\mathbb{R}) \mid A\text{ é diagonal}\}.é
O conteúdo é verificar se S é subespaço de V e, em caso afirmativo, encontrar um conjunto gerador, uma base e a dimensão de S.

Passo 2

Para mostrar que S é subespaço de V precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero está em S.
    O zero em M_3(\mathbb{R}) é a matriz nula, que é diagonal. Logo 0\in S.
  2. Fechamento sob adição.
    Se A e B são matrizes diagonais, então A+B também é diagonal. Assim, A+B\in S.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar.
    Se A é diagonal e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda A é diagonal. Logo \lambda A\in S.
Como as três condições são satisfeitas, S é subespaço de V.

Passo 3

Qualquer matriz diagonal A\in S pode ser escrita como
A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\\\ 0 & b & 0\\\\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} = a\,E_{11} \;+\; b\,E_{22} \;+\; c\,E_{33},
onde
E_{11} = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\; E_{22} = \begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\; E_{33} = \begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.
Portanto \{E_{11},E_{22},E_{33}\} gera S.

Passo 4

Para ver que \{E_{11},E_{22},E_{33}\} é linearmente independente, suponha
\alpha E_{11} + \beta E_{22} + \gamma E_{33} = 0.
O lado esquerdo é a matriz diagonal \mathrm{diag}(\alpha,\beta,\gamma). Se isso é a matriz nula, segue \alpha=\beta=\gamma=0. Logo o conjunto é LI e, sendo gerador e LI, é base de S.

Passo 5

A base escolhida tem 3 elementos, então a dimensão de S é
\dim(S) = 3.

Resposta

S é subespaço vetorial de V.
Um conjunto gerador de S é \{E_{11},E_{22},E_{33}\}.
Uma base de S é \{E_{11},E_{22},E_{33}\}. \dim(S)=3.

Exercícios relacionados