Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\left\{A \in M_{3}(\mathbb{R}) ; \operatorname{tr}(A)=0\right\} \quad V=M_{3}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado define
S = \{A \in M_{3}(\mathbb{R}) \mid \operatorname{tr}(A)=0\},\quad V = M_{3}(\mathbb{R}),
e pede para verificar se S é subespaço de V. Caso seja, precisamos encontrar um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S. O conteúdo é teste de subespaço e construção de base em espaços de matrizes.

Passo 2

Mostramos que S é subespaço de V verificando os três critérios:
  1. O zero-matriz 0 tem \operatorname{tr}(0)=0, logo 0\in S.
  2. Se A,B\in S, então
\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)=0+0=0
portanto A+B\in S.
3. Para todo \lambda\in\mathbb{R} e A\in S,
\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\,\operatorname{tr}(A)=\lambda\cdot0=0,
logo \lambda A\in S.
Assim, S é subespaço de V.

Passo 3

Descriçã o geral de S: toda matriz
A=(a_{ij})_{1\le i,j\le3}
satisfaz a_{11}+a_{22}+a_{33}=0. Isso significa que os 6 elementos fora da diagonal podem ser escolhidos livremente e os 3 elementos da diagonal ficam sujeitos à única condição de soma zero. Logo o espaço parece ter 6+2=8 graus de liberdade.

Passo 4

Um possível conjunto gerador de S é dado por todas as matrizes elementares fora da diagonal e duas matrizes que descrevem as combinações diagonais de traço zero. Por exemplo, seja
E_{ij}\;(i\neq j)\quad\text{(matriz com 1 em \((i,j)\) e 0 nos demais)},
e defina
D_{1}=E_{11}-E_{22},\quad D_{2}=E_{22}-E_{33}.
Então
\{\,E_{ij}\mid i\neq j\}\cup\{D_{1},D_{2}\}
é gerador de S, pois qualquer A com \operatorname{tr}(A)=0 pode ser escrito como combinação linear dos E_{ij} (para i\neq j) usando coeficientes a_{ij} e dos dois D_{1},D_{2} para ajustar os três a_{11},a_{22},a_{33} satisfazendo a_{11}+a_{22}+a_{33}=0.

Passo 5

Verificamos que os 6 vetores E_{ij} i\neq j juntos com D_{1},D_{2} são linearmente independentes, porque cada um toca um elemento de matriz distinto ou uma combinação única de diagonais. Portanto formam base de S. Como há 6+2=8 vetores na base,
\dim(S)=8.

Resposta

S é subespaço de V.
Um conjunto gerador de S é
\{E_{ij}\mid i\neq j\}\cup\{E_{11}-E_{22},\,E_{22}-E_{33}\}.
Uma base de S pode ser exatamente esse conjunto, e
\dim(S)=8.

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