Verifique se o conjunto
abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é subespaço de
. Caso seja, precisamos encontrar um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
. O conteúdo é teste de subespaço e construção de base em espaços de matrizes.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço de
verificando os três critérios:
- O zero-matriz
tem , logo . - Se
, então
portanto
.
3. Para todo e
,
3. Para todo
logo
.
Assim, é subespaço de
.
Assim,
Passo 3
Descriçã o geral de
: toda matriz
satisfaz
. Isso significa que os
elementos fora da diagonal podem ser escolhidos livremente e os
elementos da diagonal ficam sujeitos à única condição de soma zero. Logo o espaço parece ter
graus de liberdade.
Passo 4
Um possível conjunto gerador de
é dado por todas as matrizes elementares fora da diagonal e duas matrizes que descrevem as combinações diagonais de traço zero. Por exemplo, seja
e defina
Então
é gerador de
, pois qualquer
com
pode ser escrito como combinação linear dos
(para
) usando coeficientes
e dos dois
para ajustar os três
satisfazendo
.
Passo 5
Verificamos que os
vetores
juntos com
são linearmente independentes, porque cada um toca um elemento de matriz distinto ou uma combinação única de diagonais. Portanto formam base de
. Como há
vetores na base,
Resposta
Um conjunto gerador de
é
Uma base de
pode ser exatamente esse conjunto, e