Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S. S=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R})\right; A é uma matriz triangular inferior \} V=M_{2}(\mathbb{R})
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
S = \{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A\text{ é triangular inferior}\}
é subespaço de
V = M_{2}(\mathbb{R}).
O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial (fechamento em soma e multiplicação escalar), além de base, gerador e dimensão.
Passo 2
Para mostrar que S é subespaço de V checamos três propriedades:
O vetor zero de V está em S.
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
é triangular inferior, logo 0\in S.
2. S é fechado sob soma. Se
A=\begin{pmatrix}a & 0\\\ c & d\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}a' & 0\\\ c' & d'\end{pmatrix}
implica, olhando a entrada (1,1), em \alpha=0; a entrada (2,1) dá \beta=0; e a (2,2) dá \gamma=0. Logo só a combinação trivial anula, provando independência. Assim \{E_{11},E_{21},E_{22}\} é base de S e
\dim S = 3.
Resposta
— S é subespaço de V.
— Um conjunto gerador de S é \{E_{11},E_{21},E_{22}\}.
— Uma base de S é \{E_{11},E_{21},E_{22}\}.
— \dim S = 3.