Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R})\right; A é uma matriz triangular inferior \} V=M_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = \{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A\text{ é triangular inferior}\}é
é subespaço de
V = M_{2}(\mathbb{R}).
O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial (fechamento em soma e multiplicação escalar), além de base, gerador e dimensão.

Passo 2

Para mostrar que S é subespaço de V checamos três propriedades:
  1. O vetor zero de V está em S.
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
é triangular inferior, logo 0\in S.
2. S é fechado sob soma. Se
A=\begin{pmatrix}a & 0\\\ c & d\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}a' & 0\\\ c' & d'\end{pmatrix}
são em S, então
A+B = \begin{pmatrix}a+a' & 0\\\ c+c' & d+d'\end{pmatrix}
também é triangular inferior, logo A+B\in S.
3. S é fechado sob escalar. Para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda A = \begin{pmatrix}\lambda a & 0\\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}
é triangular inferior, logo \lambda A\in S.
Como as três propriedades valem, S é subespaço de V.

Passo 3

Um elemento genérico de S tem forma
A = \begin{pmatrix}a & 0\\\ c & d\end{pmatrix},
com a,c,d\in\mathbb{R}. Isso mostra que qualquer A\in S pode ser escrito como combinação linear de três matrizes “canônicas”.

Passo 4

Definimos as matrizes
E_{11} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Então
\begin{pmatrix}a & 0\\\ c & d\end{pmatrix} = a\,E_{11} + c\,E_{21} + d\,E_{22},
mostrando que
S = \mathrm{span}\{E_{11},\,E_{21},\,E_{22}\}.
Portanto \{E_{11},E_{21},E_{22}\} é um conjunto gerador de S.

Passo 5

Para ver que \{E_{11},E_{21},E_{22}\} é também linearmente independente, note que
\alpha\,E_{11} + \beta\,E_{21} + \gamma\,E_{22} = 0
implica, olhando a entrada (1,1), em \alpha=0; a entrada (2,1) \beta=0; e a (2,2) \gamma=0. Logo só a combinação trivial anula, provando independência. Assim \{E_{11},E_{21},E_{22}\} é base de S e
\dim S = 3.

Resposta

S é subespaço de V.
— Um conjunto gerador de S é \{E_{11},E_{21},E_{22}\}.
— Uma base de S é \{E_{11},E_{21},E_{22}\}.
\dim S = 3.

Exercícios relacionados