Verifique se o conjunto \mathcal{F}=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(0,0,1)\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\mathcal{F}=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(0,0,1)\}
e pede para verificar se \mathcal{F} é uma base de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes que o enunciado dá:
v_1=(1,1,0),\qquad v_2=(0,1,1),\qquad v_3=(1,0,1),\qquad v_4=(0,0,1).
Pergunta clara: a coleção \mathcal{F}=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} é uma base de \mathbb{R}^3?

Passo 2

O que significa ser uma base (explicação didática): uma base de \mathbb{R}^3 é um conjunto de vetores que satisfaz simultaneamente duas condições:
  1. São linearmente independentes (nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros).
  2. Geram (span) todo o espaço \mathbb{R}^3 (qualquer vetor de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base).
Uma observação muito útil (muito usada em provas): o espaço \mathbb{R}^3 tem dimensão 3. Isso significa que qualquer conjunto de mais de 3 vetores em \mathbb{R}^3 é necessariamente linearmente dependente. Então, se o conjunto tiver 4 vetores, não pode ser uma base por falta da condição de independência. Vou usar essa observação, mas também vou mostrar explicitamente uma dependência linear, para ficar bem claro.

Passo 3

Aplicando a observação de dimensão: o conjunto \mathcal{F} tem 4 vetores enquanto \mathbb{R}^3 tem dimensão 3. Logo, por essa propriedade, os vetores de \mathcal{F} são necessariamente linearmente dependentes. Portanto, já podemos afirmar que \mathcal{F} não é uma base de \mathbb{R}^3, porque falta independência linear.
Ainda assim, é pedagógico e útil mostrar uma relação de dependência explícita (isso ajuda na prova e no entendimento). Vou fazer isso no próximo passo.

Passo 4

Procurando uma relação linear não-trivial entre v_1,v_2,v_3,v_4.
Vou tentar escrever uma combinação
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 + \alpha_4 v_4 = (0,0,0)
com coeficientes \alpha_i não todos nulos.
Uma maneira prática é expressar vetores canônicos a partir de alguns v_i e depois reconstituir outro v_j. Note que:
v_4=(0,0,1).
Também
v_2-v_4 = (0,1,1)-(0,0,1) = (0,1,0).
E
v_1-(v_2-v_4)=v_1-v_2+v_4=(1,1,0)-(0,1,1)+(0,0,1)=(1,0,0).
Portanto conseguimos os vetores da base canônica:
e_1=(1,0,0)=v_1-v_2+v_4,\qquad e_2=(0,1,0)=v_2-v_4,\qquad e_3=(0,0,1)=v_4.
Agora escrevemos v_3 em termos de e_1,e_3:
v_3=(1,0,1)=e_1+e_3.
Substituindo as expressões de e_1 e e_3 em termos de v_i:
v_3 = (v_1-v_2+v_4) + v_4 = v_1 - v_2 + 2v_4.
Rearranjando para obter uma relação homogênea:
v_3 - v_1 + v_2 - 2v_4 = (0,0,0).
Isso dá uma combinação não trivial de v_1,v_2,v_3,v_4 que é zero, por exemplo os coeficientes \alpha_1=-1,\\ \alpha_2=1,\\ \alpha_3=1,\\ \alpha_4=-2 não são todos zero. Portanto os vetores são linearmente dependentes (confirmação explícita).

Passo 5

Verificação do gerador (span) — mostrar que \mathcal{F} gera \mathbb{R}^3 (mesmo sendo dependente, pode gerar):
Como mostrei, temos
e_1 = v_1 - v_2 + v_4,\qquad e_2 = v_2 - v_4,\qquad e_3 = v_4.
Qualquer vetor x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como
x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3.
Substituindo as expressões de e_i em termos de v_j, obtemos x como combinação linear dos vetores de \mathcal{F}. Logo \operatorname{span}(\mathcal{F})=\mathbb{R}^3. Em palavras: \mathcal{F} gera \mathbb{R}^3.

Passo 6

Conclusão combinando os fatos:
  • \mathcal{F} gera \mathbb{R}^3 (mostrei como obter os vetores canônicos).
  • \mathcal{F} é linearmente dependente (por ter 4 vetores em \mathbb{R}^3 e por relação explícita encontrada).
Como base exige simultaneamente independência linear e geração do espaço, \mathcal{F} não é uma base de \mathbb{R}^3 porque falha na independência linear.
Segue um jeito curto e direto para usar na prova: “Um conjunto de mais do que 3 vetores em \mathbb{R}^3 é linearmente dependente, portanto não pode ser uma base.” Se quiser, pode acrescentar a relação explícita encontrada para justificar a dependência.

Resposta

Não, \mathcal{F} não é uma base de \mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados