Verifique se o conjunto
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se
é uma base de
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Pergunta clara: a coleção
é uma base de
?
Passo 2
O que significa ser uma base (explicação didática): uma base de
é um conjunto de vetores que satisfaz simultaneamente duas condições:
- São linearmente independentes (nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros).
- Geram (span) todo o espaço
(qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base).
Uma observação muito útil (muito usada em provas): o espaço
tem dimensão
. Isso significa que qualquer conjunto de mais de
vetores em
é necessariamente linearmente dependente. Então, se o conjunto tiver
vetores, não pode ser uma base por falta da condição de independência. Vou usar essa observação, mas também vou mostrar explicitamente uma dependência linear, para ficar bem claro.
Passo 3
Aplicando a observação de dimensão: o conjunto
tem
vetores enquanto
tem dimensão
. Logo, por essa propriedade, os vetores de
são necessariamente linearmente dependentes. Portanto, já podemos afirmar que
não é uma base de
, porque falta independência linear.
Ainda assim, é pedagógico e útil mostrar uma relação de dependência explícita (isso ajuda na prova e no entendimento). Vou fazer isso no próximo passo.
Passo 4
Procurando uma relação linear não-trivial entre
.
Vou tentar escrever uma combinação
com coeficientes
não todos nulos.
Uma maneira prática é expressar vetores canônicos a partir de alguns
e depois reconstituir outro
. Note que:
Também
E
Portanto conseguimos os vetores da base canônica:
Agora escrevemos
em termos de
:
Substituindo as expressões de
e
em termos de
:
Rearranjando para obter uma relação homogênea:
Isso dá uma combinação não trivial de
que é zero, por exemplo os coeficientes
não são todos zero. Portanto os vetores são linearmente dependentes (confirmação explícita).
Passo 5
Verificação do gerador (span) — mostrar que
gera
(mesmo sendo dependente, pode gerar):
Como mostrei, temos
Qualquer vetor
pode ser escrito como
Substituindo as expressões de
em termos de
, obtemos
como combinação linear dos vetores de
. Logo
. Em palavras:
gera
.
Passo 6
Conclusão combinando os fatos:
-
gera (mostrei como obter os vetores canônicos). -
é linearmente dependente (por ter 4 vetores em e por relação explícita encontrada).
Como base exige simultaneamente independência linear e geração do espaço,
não é uma base de
porque falha na independência linear.
Segue um jeito curto e direto para usar na prova: “Um conjunto de mais do que 3 vetores em
é linearmente dependente, portanto não pode ser uma base.” Se quiser, pode acrescentar a relação explícita encontrada para justificar a dependência.
Resposta
Não,
não é uma base de
.